1989　京都工芸繊維大学MathJax

【１】　空間に点$\mathrm{A}(2,1,1)\text{，}$平面$\alpha \text{：}2x+y+z=1$がある．平面$\alpha$上の点$\mathrm{B}(1,-1,0)$を通り，平面$\alpha$に含まれ，かつ線分$\mathrm{AB}$に垂直な直線を$g$とする．

(1)　直線$g$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{C}(1,d,1)$に対し，点$\mathrm{P}$が直線$g$上を動くとき，つねに$\mathrm{PA}<\mathrm{PC}$となるような定数$d$の値を求めよ．

【２】　$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}\overrightarrow{e_1}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{，}\overrightarrow{e_2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$とする．行列$A$は

$|A\overrightarrow{e_1}|=|A\overrightarrow{e_2}|=1$

および内積$A\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}={\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たしている．ベクトル$\overrightarrow{r}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$が$\left|\overrightarrow{r}\right|=1$を満たして動くとき，${|A\overrightarrow{r}|}^2$の最大値および最小値を求めよ．

【３】　$k\text{，}l\text{（}k>l\text{）}$を自然数とし，$a>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とし，$2$曲線$y=x^k\text{，}y=a{x}^l\text{（}x\geqq 0\text{）}$の原点以外の交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{P}$から$x$軸，$y$軸に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．この$2$曲線で囲まれた部分の面積が長方形$\mathrm{OAPB}$の面積の${\displaystyle \frac{1}{9}}$となるように$k\text{，}l$を定めよ．

【４】　曲線$C\text{：}{y}^2=x-1$がある．点$(t,0)\text{（}-1<t<1\text{）}$から曲線$C$に引いた$2$接線と曲線$C$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とする．

(1)　$S(t)$を求めよ．

(2)　$t$が区間$-1<t<1$を動くとき，関数$f(t)=S(t)+S(-t)$のとる値の範囲を求めよ．

【５】　${\displaystyle {\int }_1^x}f(t)dt=(1-{\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}})f(x)+a\text{（}x>0\text{）}$を満たす関数$f(x)$がある．ただし$a$は定数である．

(1)　$x{f}^{\prime }(x)=(x+2)f(x)$が成り立つことを示せ．

(2)　${\displaystyle {\int }_1^2}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}dx=1$となるような$f(x)$および$a$の値を求めよ．

【６】　赤，青，黄，緑の$4$色の球がそれぞれ$2$個ずつ入った袋から同時に$4$個の球を取り出したとき，その中に現れる色の種類の数を確率変数$X$で表す．$X$の確率分布および$X$の期待値を求めよ．