1989　大阪大学　後期MathJax

【１】　座標平面上で，点$\mathrm{P}(x,y)$を点${\mathrm{P}}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$にうつす$1$次変換$f$が

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& b\\ b& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

で与えられている．

(1)　原点$\mathrm{O}$を通り，$f$によってそれ自身にうつされる直線の方程式をすべて求めよ．

(2)　点列${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n\text{，}\cdots$を

${\mathrm{P}}_1=\mathrm{P}\text{，}{\mathrm{P}}_n=f\left({\mathrm{P}}_{n-1}\right)\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定め，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}$の長さを$l_n$とする．点$\mathrm{P}$のとり方によらず，数列$\{l_n\}$が$0$に収束するような実数$b$の範囲を求めよ．

【２】　関数$y=\sin x(0<x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$のグラフを$G$とし，直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を$m$として，$G$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とする．$G$上の点$\mathrm{P}(t,\sin t)(t\ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$における$G$の法線を$l$とし，$l$と$m$との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$がグラフ$G$上を$\mathrm{R}$に近づくとき，点$\mathrm{Q}$の$y$座標はどんな値に収束するか．

(2)　グラフ$G$と直線$l$と$m$によって囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(3)　$x$軸と直線$l$と$m$で囲まれた三角形の面積を$T$とおく．このとき，

$\underset{t\to \frac{\pi }{2}}{\lim }{\displaystyle \frac{T}{S}}=0$

となることを示せ．

【３】　$f(x)=(2x^2-5x+2)e^x$とおく．

(1)　関数$y=f(x)$の増減と極値を調べ，そのグラフの概形をかけ．

(2)　関数$y=g(x)$は連続で

$g(-1)>0\text{，}g(1)>0\text{，}g(3)<0$

である．さらに，$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{P}(-1,0)$とする時，すべての実数$x$について，

$\mathrm{O}{\mathrm{G}}_x\cdot \mathrm{P}{\mathrm{F}}_x=\mathrm{P}{\mathrm{G}}_x\cdot \mathrm{O}{\mathrm{F}}_x$

が成り立つ．ここで，${\mathrm{F}}_x\text{，}{\mathrm{G}}_x$はそれぞれ$(x,f(x))\text{，}(x,g(x))$を座標にもつ点を表す．

　このとき，関数$y=g(x)$を求め，定積分

${\displaystyle {\int }_0^1}g(x)dx$

を計算せよ．

【１】　$x$の$3$次関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$は，つぎの条件をみたしているものとする．

(ⅰ)　$y=f(x)$のグラフと放物線$y=x^2$とは相異なる$3$点$\mathrm{P}(-1,y_1)\text{，}\mathrm{Q}({\displaystyle \frac{1}{2}},y_2)\text{，}\mathrm{R}(x_3,y_3)$で交わる．

(ⅱ)　直線$\mathrm{PQ}$と$\mathrm{QR}$は直交する．

　このとき，$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

【２】　$D$は$xy$平面上の，不等式

$x^2+y^2\leqq 1\text{，}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$

で表される領域とする．

　$f(\theta )\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$を，$x\text{，}y$の関数$x\cos \theta +y\sin \theta$が$D$においてとる最大値とする．

(1)　解答用紙の表にしたがって$f(\theta )$を求め，それぞれの欄に記入せよ．

(2)　$f(\theta )$のグラフの概形を，解答用紙の図中にかきこめ．

【３】　関数$f(x)$は区間$[0,4]$で定義され，

$f(0)=1\text{，}f(4)=3\text{，}1\leqq f(x)\leqq 4$

をみたす連続関数で，そのグラフは各区間$[j,j+1]\text{（}j=0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{）}$において傾きが$-1\text{，}0\text{，}1$のいずれかである直線とする．各区間$[j,j+1]$における直線の傾きを$g_i$とする．

(1)　$g_0+g_1+g_2+g_3$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{j=0}^3}{\displaystyle {\int }_j^{j+1}}\{f(x)+g_i\}dx$の値の最大値および最小値を求めよ．

【４】　$k$が$5$以上の整数のとき，方程式

$x+y+z=2k-1$

の正整数の解について考える．

　以下の文中の$\boxed{}$および解答用紙の表の空欄に適する数または式を求め，解答用紙の指定されたところに記入せよ．

(1)　$x\leqq k$をみたす正整数の解$(x,y,z)$の個数は$\boxed{}$．

(2)　

条件(＊)　$x\leqq k\text{，}y\leqq k+1\text{，}z\leqq k+2$

をみたす正整数の解$(x,y,z)$の個数を，解答用紙の表に示した各場合について$k\text{，}x$を用いて求め，それぞれの欄に記入せよ．

(3)　条件(＊)をみたす正整数の解$(x,y,z)$の個数は$\boxed{}$．

【５】　$t$は実数とし，$xy$平面において

曲線$y=e^{-|x|}\text{，}2$直線$x=t\text{，}x=t+1\text{，}$および$x$軸

によって囲まれる図形を$y$軸のまわりに回転して得られる立体の体積を$V(t)$とする．

(1)　$V(t)$を求めよ．

(2)　$V(t)$の最大値を求めよ．