1989　九州工業大学MathJax

【１】　$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$を$ad-bc>0$を満たす行列とする．$A$で表される$1$次変換による平面上の$4$点$(1,0)\text{，}(0,1)\text{，}(-1,0)\text{，}(0,-1)$の像をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$とする．四辺形$\mathrm{PQRS}$を$F$として，次に答えよ．

(1)　$F$は平行四辺形になることを示せ．

(2)　$F$がひし形になるための$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の条件を求めよ．

(3)　$F$が長方形になるための$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の条件を求めよ．

(4)　$F$が正方形になるとき，$A$は$\left(\begin{array}{cc}\alpha & -\beta \\ \beta & \alpha \end{array}\right)$の形になることを示せ．

【２】　空間の$3$点$\mathrm{P}(2,0,0)\text{，}\mathrm{Q}(1,2,0)\text{，}\mathrm{R}(0,0,2)$を通る平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{A}$を，直線$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{AQ}\text{，}\mathrm{AR}$がいずれも平面$\alpha$と$45\mathrm{°}$の角をなすようにとる．点$\mathrm{A}$から平面$\alpha$にひいた垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{C}$とする．次に答えよ．

(1)　平面$\alpha$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{C}$は三角形$\mathrm{PQR}$の外接円の中心であることを示せ．

(3)　点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(4)　点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

【３】　$4$次関数$f(x)=x^4-2x^3-3x^2+(4-a)x$（$a$は実数）について，次に答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)=4x^3-6x^2-6x+4-a=0$の実数解の個数を求めよ．

(2)　$f(x)$が極小になる$x$の値が唯一つであるような$a$の範囲を求めよ．

【４】　次に答えよ．

(1)　${\displaystyle \int }{e}^{ax}\sin xdx$を求めよ．（部分積分法を$2$回用いよ．）

(2)　$I_k={\displaystyle {\int }_{(k-1)k}^{k\pi }}{e}^{ax}|\sin x|dx\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して$J_n={\displaystyle {\int }_0^{n\pi }}{e}^{ax}|\sin x|dx$とおく．$n\to \infty$のとき$J_n$が収束するための$\alpha$の範囲を求めよ．また，このとき$\underset{n\to \infty }{\lim }{J}_n$を求めよ．

【５】　$3$つの箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$がある．箱$\mathrm{A}$の中には赤球が$3$個，白球が$2$個入っている．箱$\mathrm{B}$の中には赤球が$3$個，白球が$4$個入っている．いま，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$からそれぞれ$1$球ずつ取り出し，色を確かめずに箱$\mathrm{C}$に入れた．次に答えよ．

(1)　箱$\mathrm{C}$に赤球がふくまれる確率を求めよ．

(2)　箱$\mathrm{C}$から$1$球を取り出したとき，それが赤球である確率を求めよ．

(3)　箱$\mathrm{C}$から$1$球を取り出したときにそれが赤球であった場合，この赤球が箱$\mathrm{A}$に入っていた赤球である確率を求めよ．

【３】　正定数$a$をふくむ関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{a{e}^{-as}}{{(1+e^{-as})}^2}}ds+{\displaystyle \frac{1}{2}}$について，次に答えよ．

(1)　$t=e^{-as}$とおくことにより$f(x)$を求めよ．

(2)　$y=f(x)$は点$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$に関して対称であることを示せ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)dx$は，$a$に無関係に一定値になることを示し，その値を求めよ．

【４】　表の出る確率が$p\text{，}$裏の出る確率が$1-p$である硬貨を投げる試行をくり返す．確率変数$X_i$は，$i$回目の試行で硬貨の表が出れば$1\text{，}$裏が出れば$-1$の値をとるものとする．次に答えよ．

(1)　$Y_1={(X_1-X_2)}^2$が$0$になる確率と，$Y_2=X_1{X}_2$が$-1$になる確率を求めよ．

(2)　$Z={(X_1-X_2)}^2+{(X_3-X_4)}^2+{(X_5-X_6)}^2$の平均値$E(Z)$を求めよ．

(3)　$W=X_1{X}_2{X}_3{X}_4{X}_5{X}_6$の平均値$E(W)\text{，}$および$W=1$となる確率$Q\text{，}W=-1$となる確率$R$を求めよ．