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1989-11262-0101
1989 東京都立大
人文・経済学部
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f ⁡(x )= 1-x +1+ x について次の問いに答えよ.
(1) a f⁡( x) の最大値,最小値を求めよ.
(2) 方程式 f ⁡(x )=k の実数解の個数は k の値によってどのように変わるか調べよ.
1989-11262-0102
【2】 2 つの行列についてその積を次のように定める.
( a1 b1 c1 d1 ) ⁢( a2 b2 c2 d2 )= ( a1⁢ a2 b1⁢ b2 c1 ⁢c2 d1 ⁢d2 )
なお,和は通常と同じものとする.さらに, 4 つの行列を
A=( 4 1 11 ) ,B= ( -41 2 1 ), C=( 1 0 0-1 )
X=( x +yx +y+z x+ y+z x-y )
とする.このとき
A⁢X 2+B⁢ X+C= O
を満たす ( x,y, z) の組をすべて求めよ.
1989-11262-0103
【3】 横に 2 個,縦に n 個,あわせて 2 ⁢n 個のます目を考える.たとえば, n=4 のときは右の図のようなます目になる.このます目に○印と×印を入れる.ただし,×印は横にも縦にも続いていれることはない.このような○,×印の入れ方の総数を a n とするとき,次の問いに答えよ.
(1) a2 と a 3 を求めよ.
(2) すべての n について
an +2= c⁢a n+1 +d⁢ an
となるような定数 c , d を求めよ.
1989-11262-0104
【4】 0≦a ≦2 , また
f⁡( a)= ∫ 01 |3⁢ x2- 3⁢a⁢ x| ⁢dx
とする.次の問いに答えよ.
(1) f⁡( a) を求めよ.
(2) f⁡( a) の最大値を求めよ.
1989-11262-0105
理・工学部
【1】 空間内に原点 O= (0, 0,0 ) と 3 点 A= (1, 0,0 ) ,B =(0 ,2,0 ), C =(0 ,0,3 ) をとる.次の問いに答えよ.
(1) 4 面体 OABC に内接する球 S の中心 K と半径 r を求めよ.
(2) 平面 α は原点 O からの距離が 13 で平面 ABC と垂直に交わり,さらに S に接するものとする. α の方程式を求めよ.
1989-11262-0106
【2】 座標平面上に,同一直線上にない 3 点 Q ,P , Q がある.ただし, O は原点とする.この平面上の 1 次変換 f はその行列が零行列でなく,さらに次の関係式
f2⁡ (OP →) =f⁡( OQ→ ), f2 ⁡( OQ→ )=8 ⁢f⁡( OQ→ )-15 ⁢f⁡( OP→ )
を満たすものとする.次の問いに答えよ.
(1)
f3 ⁡( OP→ )=a ⁢f2 ⁡( OP→ )+b ⁢f⁡( OP→ ), f3 ⁡( OQ→ )=a ⁢f2 ⁡( OQ→ )+b ⁢f⁡( OQ→ )
を満たす 1 組の定数 a , b を求めよ.
(2)
f2 ⁡( OX→ )=c ⁢f⁡ (OX →) +d⁢ OX→
が各点 X について成立するような定数 c , d を求めよ.
1989-11262-0107
【3】 2 つの関数
f⁡( x)= 3⁢x 3-5 ⁢x2 -3⁢x +8 ,g⁡ (x) =|3 ⁢x|
について,各 x で f ⁡(x ) と g ⁡(x ) の大きな方の値を h ⁡(x ) とおく.このとき,関数 h ⁡(x ) の極大,極小を与える x の値を求めよ.
1989-11262-0108
【4】(1) ∫ 0πx ⁢sin⁡x ⁢dx を求めよ.
(2) limn →∞ 1 (n +1) 2 ⁢ ∫02 ⁢n⁢π x ⁢| sin⁡x |⁢ dx を求めよ.ただし, n は正の整数とする.
1989-11262-0109
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【5】 閉区間 [ 0,a ] ( a>0 ) のすべての値をとる確率変数 X の確率密度関数を f ⁡(x )=b ⁢(4 -x) ⁢x とする.次の問いに答えよ.
(1) X の平均値が a2 のとき, a ,b の値を求めよ.
(2) t の方程式 4 ⁢t2 -12⁢t +9⁢ (X -1) =0 の 2 つの解がともに正となる X の確率を求めよ.