1990　大学入試センター試験　本試験　数学IIMathJax

【１】〔１〕　座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円に内接する正六角形の頂点を順に$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$とし，$\mathrm{A}$の座標は$(2,0)\text{，}\mathrm{B}$は第$1$象限にあるとする．このとき，

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}+2\overrightarrow{\mathrm{DE}}-3\overrightarrow{\mathrm{FA}}$を成分で表すと

$(\boxed{\text{アイ}},\boxed{\text{ウエ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}})$

である．

(2)　$t$を実数とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{EF}}$の大きさが最小になる$t$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$で，そのときの最小値は$\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$である．

〔２〕　平面上に四角形$\mathrm{ABCD}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=2\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{，}$$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}=2$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{b}$とおく．

(1)　$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$\angle \mathrm{BCM}=\boxed{\text{ケコ}}°$だから，$\mathrm{BM}=\sqrt{\boxed{\text{サシ}}}$である．また，

$\overrightarrow{\mathrm{BM}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}\overrightarrow{a}+\frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}\overrightarrow{b}}\cdots \text{①}$

である．

(2)　$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{PC}$と$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{PQ}:\mathrm{QC}=1:2$のとき，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}$と$\mathrm{BQ}:\mathrm{QM}$を求めよう．

　$\overrightarrow{\mathrm{BP}}=t\overrightarrow{\mathrm{BA}}$とおくと，

$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b})\cdots \text{②}$

である．ゆえに，$\text{①}$と$\text{②}$から$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$となる．したがって，

$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\boxed{\text{ナ}}:\boxed{\text{ニ}}\text{，}$$\mathrm{BQ}:\mathrm{QM}=\boxed{\text{ヌ}}:\boxed{\text{ネ}}$

である．また，$\mathrm{BQ}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ヒフ}}}$である．

【２】

〔１〕　関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx$は，$x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$で極小値$-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}}$をとる．このとき，

(1)　$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$b=\boxed{\text{イウ}}$であり，関数$f(x)$の極大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(x,y)$における接線の傾き$m$のとる値の範囲は$m\geqq \boxed{\text{キク}}$である．よって，$m=\tan \theta$（$0°\leqq \theta <180°$）とおくとき，角$\theta$のとる値の範囲は

$0°\leqq \theta <\boxed{\text{ケコ}}\text{，}$$\boxed{\text{サシス}}°\leqq \theta <180°$

である．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タチツ}}}}\pi$である．

【２】

〔２〕　${\displaystyle 1\text{，}\frac{1}{2}\text{，}\frac{1}{2}\text{，}\frac{1}{4}\text{，}\frac{1}{4}\text{，}\frac{1}{4}\text{，}\frac{1}{4}\text{，}\cdots }$は，${\displaystyle \frac{1}{2^{k-1}}}$が$2^{k-1}$個$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$ずつ続く数列である．このとき，

(1)　第$1000$項までの和は

$\boxed{\text{テ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{トナニ}}}{2^{\boxed{\text{ヌ}}}}}$

である．

(2)　第$n$項までの和が$100$であるとき，$n=2^{\boxed{\text{ネノハ}}}-\boxed{\text{ヒ}}$であるから，$n$は$\boxed{\text{フヘ}}$桁の数である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【３】　$1$から$9$までの数字が一つずつ書いてあるカードが，それぞれ一枚ずつ，合計$9$枚ある．この中から$3$枚のカードを取り出し，書かれた数字の小さい方から順に$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z$とする．

(1)　このような$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z$の組の個数は$\boxed{\text{アイ}}$である．

(2)　$X\text{，}$$Y\text{，}$$Z$がすべて偶数である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エオ}}}}$である．

(3)　$X\text{，}Y\text{，}Z$が連続した数字である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キク}}}}$である．

(4)　$X=4$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}}$である．

(5)　$X$のとる値は$\boxed{\text{シ}}$から$\boxed{\text{ス}}$までの整数である．整数$k$が$\boxed{\text{シ}}\leqq k\leqq \boxed{\text{ス}}$のとき，$X=k$となる確率は

${\displaystyle \frac{(\boxed{\text{セ}}-k)(\boxed{\text{ソ}}-k)}{\boxed{\text{タチツ}}}}$

である．また，$X$の期待値（平均値）は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．