1990　一橋大学　前期MathJax

【１】　直角三角形の$3$辺の長さがすべて整数のとき，面積は$2$の整数倍であることを示せ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}=60\mathrm{°}$であるとする．

(1)　$\sin B+\sin C$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$\sin B\sin C$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　双曲線${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{2y^2}{a}}=1$と放物線$x=y^2-a$とで囲まれる部分を$M$とする．ただし，$a>0$とする．

(1)　$M$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

(2)　$a=3$のとき，$M$の内部および境界上の点で$x$座標と$y$座標がともに整数であるものは，全部でいくつあるか．

【４】　座標平面の$x$軸上に$3$点$\mathrm{A}(-3,0)\text{，}\mathrm{B}(0,0)\text{，}\mathrm{C}(c,0)$がある．この平面上に

$\mathrm{PA}:\mathrm{PB}:\mathrm{PC}=4:2:1$

となるような点$\mathrm{P}$が存在するのは，$c$がどのような範囲にあるときか．

【５】　空間内に$6$個の点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}{\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$がある．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標は$\mathrm{A}(0,0,0)\text{，}\mathrm{B}(2,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,2,0)$であり，点${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}$はそれぞれ点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を$z$軸の正の方向に$2$だけ移動した点である．三角形$\mathrm{ABC}$と三角形${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$を$2$つの底面とする三角柱を平面$x+y+z=3$で切る．

(1)　切り口の面積を求めよ．

(2)　切ってできる$2$つの立体のうち，点$\mathrm{A}$を含む方の立体の体積を求めよ．