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1992-10000-0301
1992 大学入試センター試験 追試
数学I
配点30点
正解と配点
易□ 並□ 難□
【1】 2 次の整式 f⁡ (x) , 3 次の整式 g⁡ (x) , 4 次の整式 h⁡ (x) があり, f⁡( x) の x 2 の係数は 1 , h⁡( x) の x 4 の係数は 2 である. g⁡( x) と h⁡( x) はともに f ⁡(x ) で割り切れるとする.
(1) 方程式 f ⁡(x )= 0 の解は 1 +2 ⁢i , 1 −2 ⁢i であるとする.ただし, i は虚数単位である.このとき,
f⁡(x )=x 2− ア ⁢ x+ イ
である.
(2) さらに, g⁡(−1 )=24 , g⁡ (1)= 4 とすると,方程式 g⁡ (x)= 0 はただ一つの実数解 x = ウ をもち,
g⁡(x )= エ ⁢ x3 + オ ⁢ x2 − カ ⁢x + キ
となる.
(3) さらに, 5 次の整式
p⁡(x )=2⁢ x5− 11⁢x 4+20 ⁢x3 +a⁢x 2+b⁢ x+c
が g⁡ (x) で割り切れるとする.このとき,
a=− クケ , b =− コサ , c= シス
である.また, g⁡( x)⁢h ⁡(x ) が p ⁡(x ) で割り切れるとすると,
h(x) =( セ ⁢x − ソ )⁢ (x+ タ ) ⁢f⁡ (x)
1992-10000-0302
【2】 f⁡( x)=2 ⁢x2 , g⁡( x)=− x2+ 6⁢a⁢ x−9⁢ a2+a +1 とおく.二つの放物線 C 1: y=f⁡ (x) と C 2: y=g⁡ (x) は二つの交点をもつとする.
(1) このとき, a のとる値の範囲は
アイ ウ < a< エ オ
(2) k を −1 でない定数とするとき,
C3 : y= f(x )+k ⁢g⁡ (x) 1+k
は, k= カ のとき直線であり, k≠ カ のとき放物線である.そして C 3 はつねに C 1 と C 2 の交点を通る.
(3) C3 が x 軸に接する放物線となるのは k = キ または
k= クケコ a+1 + サシ − スセ ⁢a
のときである.
(4) C1 と C2 の二つの交点を通る直線の方程式は
y= ソ ⁢ a⁢ x− タ ⁢ a 2+ チ ツ (a + テ )
1992-10000-0303
〔2〕と合わせて配点40点
【3】
〔1〕 座標平面上に 2 点 A (−4 ,3) , B (4, −3) と直線
l: x+3⁢ y−15 =0
がある.
(1) l 上の 2 点 C , D で ∠ ACB=∠ ADB=90 ° となるとき,点 C , D の座標は
C( ア , イ ) , D ( ウ , エ )
である.ただし, ア > ウ とする.このとき,
∠ABC= オカ °
(2) l 上に点 P をとる. ▵ABP が鋭角三角形となるとき,点 P の x 座標の値の範囲は
− キ <x < ク , ケ < x< コ
1992-10000-0304
〔1〕と合わせて配点40点
〔2〕 m を整数とする.座標平面上の点 (4⁢ m+1, 0) を中心として半径 1 の半円を y ≧0 の部分にかき,点 (4 ⁢m+3 ,0) を中心として半径 1 の半円を y ≦0 の部分にかく.このようにしてできる図形( m=0 , ±1 , ±2 , ⋯ )をつないで得られる曲線を C とする.
(1) 直線 y= a⁢x と C の共有点が 3 個以下であるための必要十分条件は
a≦− サ シ または a> ス セソ
(2) 2≦b ≦3 の範囲内で,直線 y= 1 3 ⁢x+ b が C と二つの共有点をもつのは
b= タ チ