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1992-10001-0101
1992 北海道大学 前期
文系,理Ⅱ,Ⅲ,水産系
理Ⅱ,Ⅲ,水産系は【2】
易□ 並□ 難□
【1】(1) a がすべての実数を動くとき,
円 Ca :( x-a )2 +( y-a) 2= a2+ 1
が動く範囲を図示せよ.
(2) a が 0 以上のすべての実数を動くとき, Ca が動く範囲を図示せよ.
1992-10001-0102
文系
【2】 行列 A =( ab cd ) で表される 1 次変換 f が単位円 x2+ y2= 1 を単位円に移し,さらに単位円上のすべての点 P に対して f ⁡( P) ≠P とする.このような 1 次変換 f を決定せよ.
1992-10001-0103
【3】 r を 0 でない実数とする.数列 { an } を
a1 =r ,a n=r+ 1r ⁢ an- 1 ( n≧2 )
で定める.
(1) an を求めよ.
(2) b1= r ,b n=a n+b n-1 ( n≧2 ) を満たす数列 { bn } の第 n 項を求めよ.
1992-10001-0104
【4】 f⁡( x)= 6⁢x2 -x3 とし,曲線 y =f⁡( x) を C とする.点 ( a,f⁡ (a ) ) における C の接線の方程式を y =g⁡( a)⁢ x+h⁡ (a ) とする.
(1) g⁡( a) ,h⁡ (a ) を求めよ.
(2) x≦a であるすべての x に対して,
g⁡( a)⁢ x+h⁡ (a) ≦f⁡ (x )
が成り立つように a の範囲を定めよ.
(3) 曲線 C の接線 l が C と接点のみを共有するように a の値を定め,さらに直線 l と曲線 C および y 軸とで囲まれる図形の面積を求めよ.
1992-10001-0105
理Ⅰ系,医,歯
【1】 行列 A = 13⁢ ( 43 -7 -6 ) によって表される 1 次変換を f とする.
(1) 円 x2+ y2= 1 上の点 P の f による像を Q とする. P と Q を通る直線が原点を通るとき,点 P を求めよ.
(2) 正の整数 n に対して,行列 A n で表される 1 次変換による点 ( 2,2 ) の像を求めよ.
1992-10001-0106
理Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ系,医,歯,水産
理Ⅱ,Ⅲ系,水産は【1】
【2】 xyz 空間で 4 点 O ( 0,0, 0) ,A ( 1,2, 0) ,B ( 2,0, 1) ,C ( 0,1, 2) を頂点とする四面体(表面および内部)を K とする. K の点 P から平面 x +y+z =-1 へ垂線を引くとき,その平面との交点を P′ とする. P が K を動くとき, P′ の動く範囲の面積を求めよ.
1992-10001-0107
【3】(1) 定直線 l が y =a⁢ x2- 3⁢ x ( a>0 ) で表されるすべての放物線と定点 A で接するとき, A および l を求めよ.
(2) (1)の放物線上の点 P ( P ≠A ) における接線が l と交わる点を Q とする.ベクトル AQ → と QP → のなす角が 30 ⁢° であり,さらにこの放物線と 2 つの線分 AQ , PQ で囲まれる部分の面積が 3 であるとする.このとき a の値を求めよ.
1992-10001-0108
【4】 次の条件 P を満たす定数 C の中で最小のものを求めよ.ただし,対数は自然対数であり,その底 e の値は 2.718 ⋯ である.
P: 2≦x ≦y を満たすすべての実数 x , y に対して不等式 log ⁡yy ≦C⁢ log⁡x x が成り立つ.
1992-10001-0109
【5】(1) 正の実数 p , q に対して,
∫ 01⁡ xp⁢ (1 -x) q⁢d x≦ 1q+1
を示せ.
(2) 第 n 項 a n が次式で与えられるとき,無限級数の和 ∑n =1∞ an を求めよ.ただし, s は 1 より大きい実数とする.
an = 1ns +1 ⁢ ∫ 0n xs⁢ (1 - xn )n ⁢dx
1992-10001-0110
理Ⅱ,Ⅲ,水産系
【3】 x≧0 における関数 f ⁡( x) を,
f⁡( x)= -x⁢log ⁡x ( x> 0 ),f ⁡(0 )=0
で定義する.ただし,対数は自然対数であり,その底 e の値は 2.718 ⋯ である.
(1) 0<x ≦1 のとき 1 x ≧-log ⁡x が成立することを示し, limx →+0 f⁡ (x ) を求めよ.
(2) 関数 g ⁡(x )=f ⁡(x )+f ⁡(1 -x) の 0 ≦x≦1 における最大値と最小値を求めよ.
1992-10001-0111
【4】 無限級数
∑n= 1∞ 2n-1 ⁢( e( n+1) ⁢x- e( n-1) ⁢x ) (1 +e2 ⁢x) n
は任意の実数 x で収束することを示し,その和を f ⁡(x ) とするとき, ∫ 12 f⁡( x)⁢ dx を求めよ.ただし, e は自然対数の底とする.
1992-10001-0112
【5】 円周 x2+ y2= 1 を 6 等分する点
Ak (cos ⁡ k⁢π 3, sin⁡ k ⁢π3 ) ( k=1 ,2 , ⋯ ,6 )
がある.
(1) これらの点を次の規則で移動する動点 Q がある. 4 個の硬貨を同時に投げる試行をし,表がちょうど 2 個出たとき反時計まわりに隣の点に移動し,それ以外のときは時計まわりに隣の点に移動する.動点 Q は最初 A1 にあるものとして,この試行を 4 回繰り返した後 Q が A3 にある確率を求めよ.
(2) 平面上に定点 A ( a,b ) がある. 2 個のさいころを投げて k の目が出たとき,確率変数 X を X =| A Ak → | 2 で定義する.このとき X の期待値 E ⁡( X) を求めよ.