1993　旭川医科大学　後期MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　$a_1=1\text{，}$$a_2={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}$$4a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n=0$$\text{（}n\geqq 1\text{），}$で定義される数列$\{a_n\}$がある．$b_n=2^{n-1}{a}_n$とおいて$b_n$を求めることにより$a_n$を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　$\sqrt{6+e}$の近似値を$1$次近似式を用いて求めよ．ただし$e=2.7182$とする．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　$\mathrm{A}$君はこれまでの数学のテストで$5$問のうち$2$問は解く実力がある．今回のテストではこれまでと同程度の問題が$10$問出て，$7$問解くことができた．$\mathrm{A}$君の実力は上ったと判定してよいか．危険率$5\mathrm{\%}$で検定せよ．必要ならば下の表を使ってよい．

ただし，$P_r={}_{10}C_r{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^r{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^{10-r}$

【２】　$f(a)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|x-a|\sin x\mathit{dx}$について，次の各問いに答えよ．

(1)　$a\leqq 0$のとき，$f(a)$を求めよ．

(2)　$a$がすべての実数値をとるとき，$f(a)$の最小値を求めよ．

【３】　$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=x^n$（$n$はある自然数）

$C_2\text{：}y={\displaystyle \frac{\log x+a}{x}}$

は共有点をもち，この点で共通の接線を持つとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$a$の値を$n$を用いて表せ．

(2)　曲線$C_1\text{，}$$C_2$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】　箱の中に，$1$から$n$までの数字を$1$つずつ書いた$n$枚のカードがある．その中から同時に$2$枚のカードを取り出し，大きい数字（その数字を$X$とする）が書かれたカードを残し，小さい数字のカードは箱の中に戻す．次に$n-1$枚のカードから$1$枚を取り出し，その数字を$Y$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$X=k$$\text{（}k=2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$となる確率$P(X=k)$を求めよ．

(2)　$X<Y$となる確率$P(X<Y)$を求めよ．

(3)　$Y$の期待値$E(Y)$を求めよ．