1993　名古屋大学　前期MathJax

【１】　次の$3$直線(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)のすべてに垂直な直線が存在するように$a$を定めよ．

(ⅰ)　$x-1=y-2=-(z-3)\text{，}$

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{x+1}{3}}={\displaystyle \frac{y+2}{-3}}=z+3\text{，}$

(ⅲ)　${\displaystyle \frac{x-2}{a}}=y-4=z-6$

【２】　長さ$2a$の線分の中点$\mathrm{M}$が$1$辺の長さ$l$の正方形$\mathrm{ABCD}$の内部にあり，その線分が$\mathrm{ABCD}$と$2$点で交わるとき，点$\mathrm{M}$の存在する範囲を図示せよ．ただし，$2a<l$とする．

【３】　$3$次関数$y=f(x)$について$f(0)=f^{\prime }(0)=f^{\prime }(2)=0$であり，さらに$0\leqq x\leqq 2$において$|f^{″}(x)|\leqq 1$が成り立つならば，$|f(2)|\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}$であることを証明せよ．

【１】　次の$3$直線(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)のすべてに直交する直線が存在するように$a\text{，}b$を定めよ．

(ⅰ)　$x-1=y-2=-(z-3)$，

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{x+1}{3}}={\displaystyle \frac{y+2}{-3}}=z+3$，

(ⅲ)　${\displaystyle \frac{x-2}{a}}=y-4=z-b$

【２】　点$(-2,0,1)$と点$(r\cos \theta ,r\sin \theta ,-1)$とを通る直線が球面$x^2+y^2+z^2=1$に接している．$r>0$として，$r$を$\theta$の関数で表せ．

【３】　$n$を自然数とし，$0<a<1$として，

$S_n(a)={\displaystyle {\int }_0^1}|x^{n+1}-ax|dx$

とおく．

(1)　各$n$に対して，$S_n(a)$を最小にする$a$の値$a_n$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$a_n$に対して$\underset{n\to \infty }{\lim }n{S}_n(a_n)$を求めよ．

【４】(a)　さいころを続けて投げるとき，出る目の総和が$n$回目に初めて自然数$x$より大きくなる確率を$P_n(x)$と書く．

(1)　$P_2(x)$を求めよ．

(2)　$P_{n+1}(x)\text{（}x>6\text{）}$を$P_n(x)\text{，}{P}_n(x-1)\text{，}\cdots$を用いて表せ．

【４】(b)　$\mathrm{M}=\{1,2,\cdots ,n\}$を$1$から$n$までの自然数の集合，$f$を$\mathrm{M}$から$\mathrm{M}$への写像とし，

$f_1=f\text{，}{f}_2=f\circ f_1=f\circ f\text{，}{f}_3=f\circ f_2=f\circ f\circ f\text{，}\cdots \text{，}$

$f_k=f\circ f_{k-1}=f\circ f\circ \cdots \circ f\text{（}k\text{個の合成），}\cdots$

とする．次の(1)，(2)を証明せよ．

(1)　$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{，}n+1$の中から異なる$2$つの$p\text{，}q$を選び，$f_p(1)=f_q(1)$とすることができる．

(2)　$f_1(1)\text{，}{f}_2(1)\text{，}\cdots \text{，}{f}_n(1)$がすべて互いに異なるならば，$f_n(1)=1$である．