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1996-10000-0101
1996 大学入試センター試験 本試
数学I
配点30点
正解と配点
易□ 並□ 難□
【1】 a, b, c を整数として,次の三つの整式を考える.
(1) f⁡( x) が g⁡( x) で割り切れて,その商が x+1 であるとき
a= ア , b= イ , c= ウ
であり, f⁡( x) を h⁡( x) で割ったときの余りは エ ⁢x+ オ である.
(2) f⁡( x) が h⁡( x) で割り切れるときには
b= カ キ ⁢a , c= ク ⁢ a− ケ コ
となる. a, b,c はすべて整数であるから,これらの関係式を満たす a の最小の正の値は サ であり
2(a− サ )= シ (b− ス ) = セ (c− ソ )
が成り立つ.したがって, a− サ は二けたの整数 タチ の倍数である.
さらに方程式 g⁡( x)=0 が 1 4≦x ≦12 の範囲に解をもつとすると, a= ツテ である.
1996-10000-0102
配点35点
【2】 a を正の定数とし,放物線 y=x 2+( 6⁢a+ 2)⁢x +3⁢a +4 を C ,その頂点を P とする.
(1) P の座標は
(− ア ⁢a − イ , − ウ ⁢a 2− エ ⁢a + オ )
である. C が異なる 2 点で x と交わる条件は
a> − カ + キク ケ ⋯ ①
である.
以下, ① の条件のもとで考え, C と x 軸との交点を A, B とする.
(2) 線分 AB の長さは コ ⁢ サ ⁢a 2+ シ ⁢a − ス である.
三角形 APB の外接円の中心の座標は
(− セ ⁢a − ソ , − タ ⁢a 2− チ ⁢a + ツ 2 )
であり,半径は
1 2⁢ ( テ ⁢ a2+ ト ⁢a− ナ )
(3) a= ニ ヌ のとき,三角形 APB は正三角形である.
1996-10000-0103
【3】 座標平面上に点 A( 4,0) と方程式 y=2 ⁢x で表される直線 l をとる.点 P の座標を (a, b) とし, P から l に引いた垂線と l との交点を Q とおくと, Q の y 座標は ア ⁢ a+ イ ⁢b ウ である.
点 P が条件
『 P から直線 l までの距離と PA の比が 1: 5 である』
を満たしながら動くとき, P は方程式
y= エ オ ⁢x+ カ − キ x
で表される曲線 C 上にある.
点 A から l に引いた垂線と l との交点を B とすると, B の x 座標は ク ケ である.
点 A を通り l に平行な直線と曲線 C との 2 交点のうち, x 座標の大きい方の点を P1 とする. P1 の座標は
( コ + サ ⁢ シ ス , セソ ⁢ タ チ )
であり, cos⁡∠ P1BA = ツ テ である.