1996　一橋大学　後期MathJax

【１】　$2\times 2$行列$A$は$A^2-5A+6E=O$をみたし，行列$A$で表される$1$次変換は，直線$y=-x$と直線$2y=-x$をそれぞれ自分自身にうつす．$A$を求めよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．

【２】　直線$l$と曲線

$C\text{：}y=x^4+x^3+a{x}^2$

との共有点は$2$個で，$l$はそのうちの一方のみで$C$に接している．このような直線$l$が存在する定数$a$の範囲を求めよ．

【３】　底面の半径$r\text{，}$高さ$1$の円すいがあり，この円すいの頂点を中心とする半径$1$の球とこの円すいとの共通部分の体積が${\displaystyle \frac{2\pi }{15}}$である．$r$を求めよ．

【４】　直交する$2$つの平面$\alpha \text{，}\beta$の交線を$l$とする．また，中心がそれぞれ${\mathrm{O}}_1\text{，}{\mathrm{O}}_2$で，半径がそれぞれ$1\text{，}r\text{（}r>1\text{）}$の$2$つの球$S_1\text{，}{S}_2$があって次の$3$条件をみたしている．

(ア)　$S_1$と$S_2$は$\alpha$に関しても$\beta$に関しても同じ側にある．

(イ)　$S_1$と$S_2$はいずれも$\alpha$と$\beta$の両方に接している．

(ウ)　$S_1$と$S_2$は接している．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線${\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2$と$l$が直交するとき，$r$を求めよ．

(2)　$r=3$のとき直線${\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2$と$l$のなす角を求めよ．

【５】　$1$個のさいころを繰り返し投げ，出た目を順にかけて積を作っていく．

(1)　$n$回さいころを投げたときはじめて積が$12$になる確率$p_n$を求めよ．

(2)　$n$回さいころを投げたとき積が$12$である確率$q_n$を求めよ．