Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
1998年度一覧へ
大学別一覧へ
広島大学一覧へ
1998-10721-0101
1998 広島大学 前期
数学I・数学II・数学A・数学B
易□ 並□ 難□
【1】 三角形 ABC において, 3 つの角の大きさの比が A: B:C= 7:4: 1, 辺 AB の長さが 1 とする.
(1) sin⁡A ,sin⁡ C の値を求めよ.
(2) 辺 BC の長さを求めよ.
1998-10721-0102
【2】 2 次関数 f⁡ (x)= p⁢x2 +q⁢ x+r は,次の(ⅰ),(ⅱ)を満たすとする.
(ⅰ) y=f⁡ (x) のグラフ上の点 (x, f⁡(x )) における接線の傾きは -4 ⁢x+8 である.
(ⅱ) y=f⁡ (x) のグラフは x 軸と異なる 2 点で交わる.
(1) p ,q の値と r の範囲を求めよ.
(2) y=f⁡ (x) のグラフが x 軸と交わる 2 点を A ,B ,y 軸と交わる点を C とし,三角形 ABC の面積を T とする.また, y=f⁡ (x) のグラフと x 軸とで囲まれる図形の面積を S とする. S=4⁢ T となるような r の値を求めよ.
1998-10721-0103
【3】 xy 平面の点 O( 0,0) ,A( 1,1) ,B( 2,-1 ) と実数 k に対して,点 C は
OC→ =OB→ +k⁢ OA→
を満たすとする.
(1) 内積 (OP →- OB→) ⋅ OA→ が 2⁢ k となる点 P の描く図形は, C を通り,直線 OA と直交する直線であることを示せ.
(2) ∠ACB の大きさが 45° となる k を求めよ.
1998-10721-0104
【4】 xy 平面上に原点 O( 0,0) を中心とする半径 1 の円 C とその上の点 A (1, 0) がある.円 C 上を動く点 P に対して, 3 点 O ,A , P が三角形をつくるとき,その三角形の重心を G とする.
(1) G の軌跡を求めよ.
(2) 円 C 上の点 P0 ( 3 2 , 12 ) に対する三角形 OA P0 の重心を G0 とする.(1)で求めた軌跡の G 0 における接線が x 軸と交わる点の座標を求めよ.
1998-10721-0105
【5】と【6】からの選択
【5】 A と B の 2 人が同時に 1 個ずつサイコロを振り,出た目を比較して,大きい目を出した方の得点は 1 , 他方の得点は 0 , となる試行を考える.ただし, 2 つのサイコロの出た目が同じなら A ,B のいずれの得点も 0 とする.
(1) この試行を 1 回行うとき, A の得点が 1 となる確率を p ,B の得点が 1 となる確率を q , いずれの得点も 0 となる確率を r とする. p ,q , r を求めよ.
(2) この試行を 2 回行うとき, A の合計得点が B の合計得点より多くなる確率を求めよ.
(3) この試行を 3 回行うとき, A の合計得点が B の合計得点より 1 点多くなる確率を求めよ.
1998-10721-0106
【6】 行列 A= ( pq ab ) (p >0 ,q> 0) で与えられる一次変換 f によって xy 平面上の直線 y= x+1 が直線 y= 2⁢x にうつされるとする.
(1) a ,b を p ,q を用いて表せ.
(2) 直線 y= 2⁢x- 1 は f によってどのような図形にうつされるか.
1998-10721-0107
数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C
【1】 行列
A=( - 1 2 -x x- 1 2 ) (x ≧0)
に対して,
( 12 )+ A⁢( 1 2 )+A 2⁢( 1 2 )=( 0 0 )
が成り立つとする.
(1) x を求めよ.
(2) A3 を求めよ.
(3) 自然数 n に対して, A2⁢ n+ An+E を求めよ.ただし, E=( 1 0 01 ) である.
1998-10721-0108
【2】 空間内に 4 点
P1( 0, 5- 12 ,1) ,P 2( 0,- 5- 12 ,1 ),
P3 (1,0 , 5-1 2) ,P 4( -1,0 , 5- 12 )
を定め,線分 P1 P2 の中点を Q とする.
(1) 内積 P2P 1→ ⋅ QP3 → と P2 P1 →⋅ QP 4→ を求めよ.
(2) QP 3→ と Q P4 → のなす角を θ とするとき, sin⁡θ の値を求めよ.
(3) 四面体 P1 P2 P3 P4 の体積を求めよ.
1998-10721-0109
【3】 閉区間 [ - 12 , 1 2 ] 上の関数 f⁡ (x) を次の式で定義する.
f⁡(x )= ∫x x+1 ⁡log ⁡( |t- 12 |+ 12 ) ⁢dt
(1) f⁡(x ) の導関数 f′ ⁡(x )( -1 2<x < 12 ) を求めよ.
(2) f⁡(x ) を最小にする x の値 a と,そのときの最小値を求めよ.
(3) (2)で求めた a に対して,
∫ aa+1 ⁡t ⁢log⁡ (| t- 12 |+ 12 ) ⁢dt
を求めよ.
1998-10721-0110
【4】 曲線 C は媒介変数 θ を用いて
C:{ x= cos2⁡ θ-3 ⁢sin⁡θ ⁢cos⁡θ y=sin ⁡θ⁢cos ⁡θ- 3⁢sin 2⁡θ (0 ≦θ≦ 512 ⁢ π)
と表されている.
(1) 曲線 C が
C:{ x= a+b⁢ cos⁡(2 ⁢θ+A )y= c+d⁢ sin⁡(2 ⁢θ+A ) ( 0≦θ ≦ 512 ⁢π )
と表されるような a ,b ,c ,d ,A (0 ≦A≦π ) を求めよ.
(2) 曲線 C の長さを求めよ.
1998-10721-0111
【5】 自然数 n に対して,関数 fn ⁡(x )=pn ⁢e n⁢x +qn ⁢e- n⁢x が f n⁡( 0)= 1, fn ′⁡ (1) =-n を満たすとする.
(1) pn と qn を求め, fn ′⁡( x)<0 を示せ.
(2) 方程式 fn ⁡(x )=0 の解 zn を求めよ.
(3) 数列 {z n} に対して, limx→ ∞⁡ zn を求めよ.
1998-10721-0112
【6】 A と B の 2 人がジャンケンをする. A がグー,チョキ,バーを出す確率をそれぞれ x ,y , z とし, B がグー,チョキ,パーを出す確率をそれぞれ p ,q , r とする. 1 回のジャンケンの結果, A は次の表のような点を得る.
Aの得点表
このときの A の得点の期待値を E で表す.
(1) p=q= r= 13 のとき, E を最大にする x ,y ,z と,そのときの最大値を求めよ.
(2) 「 B が確率 p ,q ,r をどのようにとっても E= 0 」となるには, A は確率 x ,y , z をどのようにとればよいか.