1998　熊本大学　前期MathJax

【１A１】　次の問いに答えよ．

(1)　$t=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$とおくとき，$x^2+x+{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$を$t$の式で表せ．

(2)　$x^4+x^3+x^2+x+1$を実数を係数とする$x$の$2$次の整式の積で表せ．

【１A２】　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がこの順に$1$直線上に並んでいて$\mathrm{AB}=1$とする．$\mathrm{B}$を通り直線$\mathrm{AC}$に直交する直線$l$が与えられているとき，

${\mathrm{BD}}^2=\mathrm{BC}$

をみたす$l$上の点$\mathrm{D}$を作図する方法をその理由とともに述べよ．

【１A３】　$a_1=a_2=1\text{，}$$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$$\text{（}n\geqq 3\text{）}$により定まる数列$\{a_n\}$について次の問いに答えよ．

(1)　$n=3\text{，}$$4\text{，}\cdots \text{，}$$9$に対して$a_n$の値を求めよ．

(2)　$n$が$3$の倍数ならば$a_n$は偶数であり，$n$が$3$の倍数でなければ$a_n$は奇数であることを示せ．

【１A４】　$2$つの平面$x-y+z=1$と$x+y-z=2$の交線を$g$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$g$を含み原点を通る平面$\pi$の方程式を求めよ．

(2)　$g$上の動点$\mathrm{P}$と$\pi$上の定点$\mathrm{A}$$(0,1,a)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,b,0)$がある．このとき$a\text{，}$$b$を求め，${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2$の最小値を求めよ．

【１B１】　$\overrightarrow{a}=(2,1,0)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(1,0,1)\text{，}$$\overrightarrow{c}=(0,0,1)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$t\text{，}$$s$が$2t+s=1\text{，}$$-1\leqq s\leqq 3$をみたすとき，$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+s\overrightarrow{c}|$の最大値，最小値とそれらを与える$t\text{，}$$s$の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた最小値を与える$t\text{，}$$s$の値を$t_0\text{，}$$s_0$とする．$\overrightarrow{a}+t_0\overrightarrow{b}+s_0\overrightarrow{c}$が$\overrightarrow{b}+k\overrightarrow{c}$に垂直であるときの$k$の値を求めよ．

【１B２】　$x$の方程式$x^3+(m-1)x^2-(m-n)x-n=0$$\text{（}m\text{，}$$n$は正の整数）の解のうち$2$つの解$\alpha \text{，}$$\beta$について，

$\alpha \beta =5\text{，}$${\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{2i}}$は正の整数

が成立するとき，$m\text{，}$$n\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$の組をすべて求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

【１B３】　異なる$3$つの箱がある．これらの$3$つの箱にうち$1$つを無作為に選び，その中にボールを$1$個入れる試行を繰り返す．第$1$回目の試行を始める前の$3$つの箱は空であるとする．第$n$回目の試行後にボールが$2$個以上入っている箱の数を$X_n\text{，}$ボールが$1$個だけ入っている箱の個数を$Y_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$X_3=0$かつ$Y_3=3$である事象を$A_1\text{，}$$X_3=1$かつ$Y_3=1$である事象を$A_2\text{，}$$X_3=1$かつ$Y_3=0$である事象を$A_3$とするとき，$A_1\text{，}$$A_2\text{，}$$A_3$の確率$P(A_1)\text{，}$$P(A_2)\text{，}$$P(A_3)$を求めよ．

(2)　$P_{A_i}(X_4=1)\text{，}$$P_{A_i}(X_4=2)$を$i=1\text{，}$$2\text{，}$$3$について求めよ．ただし，$P_A(B)$は事象$A$が起こったときに事象$B$が起こる条件つき確率である．

(3)　$X_4$の期待値$E(X_4)$を求めよ．

【２】　$x\text{，}$$y$は実数で

$x^2-2xy+y^2+2x+2y+3=0$

をみたすとき，$x+y$の最大値，$xy$の最小値とそれらを与える$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　自然数$q$を$q=2^{r}p$$\text{（}r$は$0$以上の整数，$p$は奇数）と表す．${\log }_{2}q$が有理数ならば$p=1$であることを示せ．

(2)　自然数$a\text{，}$$b$に対して，

${\log }_{4}a=k+\alpha \text{，}$${\log }_{4}b=l+\beta$

とおく．ただし，$k\text{，}$$l$は整数で，$\alpha \text{，}$$\beta$は$0\leqq \alpha <1\text{，}$$0\leqq \beta <1$である．このとき，$\alpha +\beta$は$0\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$1$または無理数であることを示せ．

【４】　$x=2\cos t\text{，}$$y=\sin t$$(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$で表される曲線$C$に関して次の問いに答えよ．

(1)　$t={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$における法線の式を求めよ．

(2)　(1)で求めた法線と曲線$C$および$x$軸によって囲まれる図形の面積を求めよ．

【１B４】　座標平面上で，点を直線$y=2x\text{，}$$y$軸および$x$軸に関して対称に移動する$1$次変換をそれぞれ$f\text{，}$$g$および$h$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$1$次変換$f$を表す行列を求めよ．

(2)　$1$次変換$f\text{，}$$g\text{．}$$f\text{，}$$h$をこの順番に合成した$1$次変換$h\circ f\circ g\circ f$を表す行列を求めよ．

(3)　直線$y=mx$と，それの$h\circ f\circ g\circ f$による像とのなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

【２】　各辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{P}$があり，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{AP}=t\text{，}$$\mathrm{BQ}=2t$$\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{PB}$の長さを$t$の式で表せ．

(2)　$\mathrm{\angle PBC}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$を$t$の式で表せ．

(3)　$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めよ．

【３】　$2$つの放物線$y=-{(x+a)}^2$と$y=x^2+b$で囲まれる図形の面積を$S$とする．ただし，$a\text{，}$$b$は$b=-a^2+2a-2\text{，}$$b\geqq -2$をみたすとする．

　次の問いに答えよ．

(1)　$S$を$a$の式で表せ．

(2)　$S$の値の範囲を求めよ．

【４】　自然数$a$を$a=2^{p}k$$\text{（}p$は$0$以上の整数，$k$は奇数）と表したとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\log }_{2}a$が有理数ならば$p=1$であることを示せ．

(2)　${\log }_{4}a$は${\displaystyle \frac{1}{2}}$の整数倍かまたは無理数のいずれかであることを示せ．