1999　一橋大学　前期MathJax

【１】　$p\text{，}q$は素数で，$p<q$とする．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}={\displaystyle \frac{1}{r}}$をみたす整数$r$は存在しないことを示せ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{p}}-{\displaystyle \frac{1}{q}}={\displaystyle \frac{1}{r}}$をみたす整数$r$が存在するのは，$p=2\text{，}q=3$のときに限ることを示せ．

【２】　$\alpha \text{，}\beta$を$0$でない複素数とし，

${\alpha }^{\prime }={\displaystyle \frac{\alpha }{{|\alpha |}^2}}\text{，}{\beta }^{\prime }={\displaystyle \frac{\beta }{{|\beta |}^2}}$

とする．

(1)　$|{\alpha }^{\prime }-{\beta }^{\prime }|$を$|\alpha |\text{，}|\beta |\text{，}|\alpha -\beta |$を用いて表せ．

(2)　$\alpha \text{，}\beta$が$|\alpha -\beta |=1\text{，}|\alpha |=2$をみたしながら動くとき，$|{\alpha }^{\prime }-{\beta }^{\prime }|$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=4\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=5\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|=6$である．辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{D}$は$\mathrm{BD}\perp \mathrm{AC}$をみたし，辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{E}$は$\mathrm{CE}\perp \mathrm{AB}$をみたす．$\mathrm{CE}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=r\overrightarrow{\mathrm{AC}}$となる実数$r$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$となる実数$s\text{，}t$を求めよ．

【４】(1)　曲線$y=x^3$と直線$y=3x+a$が異なる$3$点で交わるような$a$の範囲を求めよ．

(2)　$a$が(1)の範囲を動くとき，$3$つの交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とし，点$(a,4a)$を$\mathrm{D}$とする．$3$つの線分の長さの積$\mathrm{DA}\cdot \mathrm{DB}\cdot \mathrm{DC}$の最大値を求めよ．

【５】　箱$\mathrm{A}\text{，}$箱$\mathrm{B}$のそれぞれに赤玉が$1$個，白玉が$3$個，合計$4$個ずつ入っている．$1$回の試行で箱$\mathrm{A}$の玉$1$個と箱$\mathrm{B}$の玉$1$個を無作為に選び交換する．この試行を$n$回繰り返した後，箱$\mathrm{A}$に赤玉が$1$個，白玉が$3$個入っている確率$p_n$を求めよ．