1999　熊本大学　前期MathJax

【１】　複素数$z$$\text{（}z\ne i\text{）}$に対して，

$w={\displaystyle \frac{z+i}{z-i}}$

とおく．ただし，$i$は虚数単位とする．次の問いに答えよ．

(1)　$w$が実数になるための$z$の条件を求めよ．

(2)　複素数平面上で$z$が$-i$を中心とする半径$1$の円周上を動くとき，$w$の軌跡を求めよ．

【２】　$2$個のサイコロを投げて$a\text{，}$$b$を次のように決める．異なる目が出たときは，出た目の数の大きい方を$a\text{，}$小さい方を$b$とする．同じ目が出たときは，$a\text{，}$$b$ともに出た目の数とする．$2$次方程式$x^2-ax+b=0$の解について，次の問いに答えよ．

(1)　$1$つの解が${\displaystyle \frac{1}{2}}$より大きく，他の解は${\displaystyle \frac{1}{2}}$より小さくなる確率を求めよ．

(2)　$2$つの解が異なり，ともに${\displaystyle \frac{1}{2}}$より大きくなる確率を求めよ．

【３】　点$\mathrm{A}$を中心とする円$x^2+{(y-a)}^2=b^2$が，放物線$y=x^2$と異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で接している．ただし，$a>{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a$と$b$の関係式を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵APQ}$が正三角形のとき，円と放物線で囲まれた三日月形の面積を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$について，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{），}$$S_0=0$とおく．

$a_n=S_{n-1}+n{2}^n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S_n$を$n$の式で表せ．

(2)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{2^k}{a_k}}$を求めよ．

【１】　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$1:2$の比に内分する点$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{\angle BAD}=30\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{AD}=1$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle DAC}$を求めよ．

(2)　辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

【２】　複素数$z$$\text{（}z\ne i\text{）}$に対して，

$w={\displaystyle \frac{z+i}{z-i}}$

とおく．ただし，$i$は虚数単位とする．次の問いに答えよ．

(1)　$z$を$w$の式で表せ．

(2)　複素数平面上で$z$が$-i$を中心とする半径$1$の円周上を動くとき，$w$の軌跡を求めよ．

【４】　$n$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\left|x\right|+\left|y\right|\leqq n$となる$2$つの整数の組$(x,y)$の個数を求めよ．

(2)　$\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|\leqq n$となる$3$つの整数の組$(x,y,z)$の個数を求めよ．ただし，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^2={\displaystyle \frac{1}{6}}n(n+1)(2n+1)$である．