2001　熊本大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$x<0$のとき，$e^{-x}$と$x^2+1$の大小関係を調べよ．

(2)　$2$つの曲線$y=x{e}^{-x}\text{，}$$y=x(x^2+1)$と直線$x=-1$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【２】　座標平面上の点${\mathrm{P}}_n$$(n,1)\text{，}$$n=1\text{，}$$2\text{，}\cdots$に対して，点${\mathrm{P}}_1$から原点$\mathrm{O}$と点${\mathrm{P}}_n$$\text{（}n\geqq 2\text{）}$を通る直線へ下ろした垂線を${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_n$とし，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}\text{，}$$\overrightarrow{{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_1}$のなす角を${\theta }_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_1}$の成分を求めよ．

(2)　$\cos {\theta }_n$を求めよ．

(3)　$\tan {\theta }_n<1.01$をみたす最小の$n$の値を求めよ．

【３】　$a$を整数とする．$x^n=n^3-a{n}^2$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$で定められている数列$\{x_n\}$が

$x_1>x_2>\cdots >x_{14}>x_{15}\text{，}$$x_{15}<x_{16}<x_{17}<\cdots$

をみたすとき，$a$を求めよ．

【４】　袋の中に$1$から$5$までのいずれかの数字を書いた同じ形の札が$15$枚入っていて，それらは$1$の札が$1$枚，$2$の札が$2$枚，$3$の札が$3$枚，$4$の札が$4$枚，$5$の札が$5$枚からなる．袋の中からこれらの札のうち$3$枚を同時にとり出すとき，札に書かれている数の和を$S$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$S$が$2$の倍数である確率を求めよ．

(2)　$S$が$3$の倍数である確率を求めよ．

【１】　点$(x,y)$が連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\geqq x^2-1\\ y\leqq x+1\end{array}$

の表す領域を動くとき，$x^2+y^2-4y$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　$a$を正の定数とし，放物線$y=x^2$の$x\geqq 0$の部分が表す曲線を$C$とする．また$a<t$をみたす$t$に対して，曲線$C$と$2$つの直線$x=a\text{，}$$y=t^2$によって囲まれる図形の面積を$S(t)$とおく．このとき次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{S(t)}{S\left({\displaystyle \frac{t+a}{2}}\right)}}$を$a\text{，}$$t$で表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{S(t)}{S\left({\displaystyle \frac{t+a}{2}}\right)}}<8$を示せ．

【４】　袋の中に$1$から$5$までのいずれかの数字を書いた同じ形の札が$15$枚入っていて，それらは$1$の札が$1$枚，$2$の札が$2$枚，$3$の札が$3$枚，$4$の札が$4$枚，$5$の札が$5$枚からなる．袋の中からこれらの札のうち$3$枚を同時にとり出すとき，札に書かれている数の和が偶数，奇数である確率をそれぞれ求めよ．