2001　学習院大学　文学部MathJax

【１】　さいころを$2$つ投げて，出た目の数の積を$X$とする．

(1)　$X=12$となる確率を求めよ．

(2)　$X$が平方数である確率を求めよ．ただし，整数の$2$乗に等しい数を平方数という．

(3)　$X$の期待値を求めよ．

【２】　複素数平面上において，$z$と$i$との距離が$1$であるとき，$i+{\displaystyle \frac{2}{z}}$は実数であることを示せ．ただし，$i$は虚数単位で，$z$は$0$でない複素数とする．

【３】　三角形$\mathrm{OAB}$において，$a=\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|\text{，}$$b=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|$とおく．$a\ne b$とし，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線上の点$\mathrm{P}$が

${\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}}{a}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}}{b}}=0$

を満たしているとする．このとき

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

となるような$t$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

【４】　曲線$C:y=x^2-4|x-1|+4$に相異なる$2$点で接する直線$l$の方程式を$y=ax+b$とする．

(1)　$a\text{，}b$を求めよ．

(2)　曲線$C$と直線$l$とで囲まれる部分の面積を求めよ．