2002　千葉大学　前期MathJax

【１】　$k$を実数とし，$f(x)=x^2-kx+3k$とする．次の問いに答えよ．

(1)　方程式$f(x)=0$の実数解の個数を調べよ．

(2)　関数$y=f(x)$が表す放物線の頂点の$y$座標が$1$以上となるような最大の整数$k$を求めよ．

【２】　直角三角形$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1\text{，}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2\text{，}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_3{\mathrm{Q}}_3\text{，}\cdots$がある．ただし各$n$について，$\angle \mathrm{O}$は直角で，$\angle \mathrm{O}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n$は$n$に無関係で一定な角$\theta$である．一辺$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n$の長さを$a_n$とおくと，$\left\{a_n\right\}$は初項$1\text{，}$公差${\displaystyle \frac{1}{2}}$の等差数列をなすとする．

　このとき次の問いに答えよ．

(1)　辺${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n$の長さを$n$と$\theta$を用いて表せ．

(2)　斜辺${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n$を一辺とする正方形の面積を$S_n$とするとき，

$S_1+S_2+\cdots +S_n$

を$n$と$\theta$を用いて表せ．

(3)　$S_n$を(2)のように定めるとき，

$S_1+S_2+S_3+S_4+S_5=90$

をみたす角$\theta$の値を求めよ．

【３】　座標平面上に，中心がそれぞれ点$(0,1)\text{，}$点$(2,1)$で，同じ半径$1$をもつ$2$つの円$C_1$と$C_2$がある．次の問いに答えよ．

(1)　$2$円$C_1\text{，}{C}_2$と$x$軸に接するように円$C_3$を描く．このとき円$C_3$の中心の座標を求めよ．

(2)　さらに，$2$円$C_1\text{，}{C}_3$と$x$軸に接するように円$C_2$とは異なる円$C_4$を描く．このとき円$C_4$の中心の座標を求めよ．

【４】　$1$から$9$までの番号が書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつある．この$9$枚のカードをよくきって重ねた後，上から$3$枚のカードを順に左から並べて，$3$桁の数を作る．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$3$桁の数が$500$以上である確率を求めよ．

(2)　$3$桁の数が$500$以上の偶数である確率を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．ただし同じ色の玉は区別できないものとし，空の箱があってもよいとする．

(1)　赤玉$10$個を区別できない$4$個の箱に分ける方法は何通りあるか求めよ．

(2)　赤玉$10$個を区別ができる$4$個の箱に分ける方法は何通りあるか求めよ．

(3)　赤玉$6$個と白玉$4$個の合計$10$個を区別ができる$4$個の箱に分ける方法は何通りあるか求めよ．

【６】　実数$t$に対して，$f(t)$を

$f(t)={\displaystyle {\int }_0^1}|x^2-tx|dx$

と定める．$0\leqq t\leqq 1$のとき，$f(t)$の最大値および最小値を求めよ．

【７】　四角形$\mathrm{ABCD}$は半径$1$の円に内接し，

• $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=0$
• $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+2(\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}})=\overrightarrow{0}$

をみたしている．このとき次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AC}$は線分$\mathrm{BD}$の中点を通ることを示せ．

(2)　四角形$\mathrm{ABCD}$の$4$辺の長さを求めよ．

(注)　(2)の”$4$辺の長さ”は”$4$辺の各辺の長さ”のことである．

【８】　座標空間内に$2$点$\mathrm{A}(1,0,0)$と$\mathrm{B}(-1,0,0)$がある．不等式

$\angle \mathrm{APB}\geqq 135°$

をみたす空間内の点$\mathrm{P}$の全体の集合に，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をつけ加えてできる立体の体積を求めよ．

【９】　行列$E$と$A$を

$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}A=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& -1\end{array}\right)$

とおく．行列$xE-A$が逆行列をもたないような$x$の$2$つの値を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha >\beta \text{）}$とし，行列$P\text{，}Q$を

$P={\displaystyle \frac{1}{\alpha -\beta }}\left(\begin{array}{cc}\alpha +1& 3\\ 2& \alpha -4\end{array}\right)\text{，}Q={\displaystyle \frac{1}{\beta -\alpha }}\left(\begin{array}{cc}\beta +1& 3\\ 2& \beta -4\end{array}\right)$

で定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　行列の積$PQ$を計算せよ．

(2)　自然数$n$に対して，$P^n$を求めよ．

(3)　すべての自然数$n$に対して，

$A^n={\alpha }^{n}P+{\beta }^{n}Q$

が成立することを示せ．

【10】　次の問いに答えよ．

(1)　${\log }_{2}3$は無理数であることを証明せよ．

(2)　$n$が正の整数のとき，${\log }_{2}n$が整数でない有理数となることはあるかどうか調べよ．

【11】　$n$を$2$以上の整数とし，

$I(x)={\displaystyle {\int }_0^x}\sin t\sin ntdt\text{（}x\geqq 0\text{）}$

と定める．

(1)　$n=2$のとき，$I(x)$の最大値を求めよ．

(2)　$I(x)$の最大値が

${\displaystyle \frac{n}{n^2-1}}$

であるならば，$n$は偶数であることを証明せよ．

【12】　無限数列$\{a_n\}$を

• $a_1=c$
• $a_{n+1}={\displaystyle \frac{{a_n}^2-1}{n}}\text{（}n\geqq 1\text{）}$

で定める．ここで$c$は定数とする．

(1)　$c=2$のとき，一般項$a_n$を求めよ．

(2)　$c\geqq 2$ならば，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\infty$となることを示せ．

(3)　$c=\sqrt{2}$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$の値を求めよ．

【13】　次の問いに答えよ．

(1)　複素数平面上で方程式

$|z-3i|=2|z|$

が表す図形を求め，図示せよ．

(2)　複素数$z$が(1)で求めた図形の上を動くとき，複素数

$w=(-1+i)z$

が表す点の軌跡を求め，図示せよ．

【14】　配列（添え字付き変数）$a$において，$a[0]\text{，}a[1]\text{，}a[2]\text{，}\cdots \text{，}a[n]$には，異なる整数の値が入っている．このとき，次の流れ図は

$a[1]\text{，}a[2]\text{，}\cdots \text{，}a[n]$

の値を小さい順に並べかえるプログラムに対応している．このプログラムについて以下の問いに答えよ．ただし，長方形で囲まれた複数の処理は上から順に行われるものとする．

(1)　$n=4$とし，「始め」においては

$a[0]=4\text{，}a[1]=5\text{，}a[2]=2\text{，}a[3]=7\text{，}a[4]=3$

であったとする．このプログラムの実行開始から終了までの，$\mathrm{A}$点における$i$の値と$a[k]\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{）}$の値の表を作成せよ．

(2)　$\mathrm{B}$点の判定$a[0]<a[j]$の回数は，$a[k]\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$の初期値により異なる．この判定回数がもっとも少ない場合の判定の回数を自然数$n$を用いて表せ．またそのような$a[k]\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$の初期値の値を示せ．ただし，いずれも証明を述べなくてよい．

【15】　次の問いに答えよ．

(1)　複素数平面上で方程式

$|z-3i|=2|z|$

が表す図形を求め，図示せよ．

(2)　複素数$z$が(1)で求めた図形から$z=i$を除いた部分を動くとき，複素数$w={\displaystyle \frac{z+i}{z-i}}$で表される点の軌跡を求め，図示せよ．

【16】　$1$から$10$までの番号が書かれた札が$1$枚ずつある．この$10$枚の札から無作為に$5$枚の札を取り出す．このとき，取り出された札のうち，番号が$5$以下であるものの枚数を$X$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$X$の確率分布を求めよ．

(2)　$X$の平均$E[X]$および分散$V[X]$を求めよ．

(3)　$X=5$のときは$\mathrm{10,000}$円，$x=4$のときは$\mathrm{1,000}$円，$X=3$のときは$100$円の賞金がもらえるが，その他の場合はもらえないものとする．賞金の期待値を求めよ．

志望別問題選択一覧

数学I，A

　教育学部　自然教育・技術教育系，情報教育系　【１】，【２】，【３】，【４】

数学I，II，A，B

　文学部　行動科学科，法経学部　【３】，【５】，【６】必須，【13】，【14】から１題選択

　園芸学部　【３】，【５】，【６】必須，【13】，【14】，【15】から１題選択

数学I，II，III，A，B，C

　理学部　生物学科，地球科学科，工学部Aコース　都市環境システム学科，デザイン工学科

　　【５】，【７】，【８】，【９】必須，【13】，【14】，【15】から１題選択

　理学部　物理学科，化学科，医学部，薬学部，

　工学部Aコース　電子機械工学科，情報画像学科，物質工学科

　　【７】，【９】，【10】，【11】必須，【13】，【14】，【15】から１題選択

　理学部　数学・情報数理学科

　　【７】，【９】，【10】，【11】，【12】必須，【13】，【14】，【15】から１題選択