2002　熊本大学　前期MathJax

【１】　さいころを繰り返し投げて，$n$回目に出た目の数を$X_n$とし，$a_n=X_1{X}_2\cdots X_n$とする．このとき，各$n$について，$a_n\leqq 9$となる確率を求めよ．

【２】　$a>1\text{，}$$a>p>0$とする．$2$直線$l_1\text{：}y=2x-1\text{，}$$l_2\text{：}y=a$の交点を$\mathrm{S}\text{，}$$l_1$と$x$軸の交点を$\mathrm{T}$とし，$y$軸上の点$\mathrm{P}$$(0,p)\text{，}$$l_1$上の点$\mathrm{A}$$(1,1)\text{，}$$l_2$上の点$\mathrm{Q}$$(q,a)$をとる．$\mathrm{\angle PQS}=135\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle AQS}=45\mathrm{°}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}$$q$それぞれを$a$で表せ．

(2)　$\mathrm{\angle PAT}=\mathrm{\angle QAS}$であるとき，$p\text{，}$$a$それぞれの値を求めよ．

【３】　楕円$E\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{8}}+y^2=1$について，次の問いに答えよ．

(1)　$E$上の点$(a,b)$における$E$の接線の$x$切片と$y$切片の和を$a$で表したものを$f(a)$とするとき，$f(a)$を求めよ．ただし，$a>0\text{，}$$b>0$とする．

(2)　$f(a)$が最小となる$a$の値を求めよ．

【４】　$a>0$とするとき，関数$f(x)=x^2{e}^{-\frac{x}{a}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$x=c$で$f(x)$が極大値をとるとき，$c$を$a$で表せ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^c}f(x)\mathit{dx}$を$a$で表せ．

【１】　二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{\angle BAC}=120\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$とする．辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$をとり，$\mathrm{AD}$を一辺とする正三角形$\mathrm{ADE}$をつくるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=m:n$とするとき，正三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$m\text{，}$$n$で表せ．

(2)　二等辺三角形$\mathrm{ABC}$の面積が正三角形$\mathrm{ADE}$の面積の$3$倍になるとき，$m:n$を求めよ．

【４】　$a<-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$b>1$とする．放物線$C\text{：}y=a{x}^2+b$と円$x^2+y^2=1$の共有点が，${\mathrm{P}}_1$$(p,q)\text{，}$${\mathrm{P}}_2$$(-p,q)$の$2$点のみとなるとき，次の問いに答えよ．ただし，$p>0$とする．

(1)　$b$を$a$で表せ．

(2)　$p\text{，}$$q$それぞれを$a$で表せ．

(3)　座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．$\mathrm{\angle }{\mathrm{P}}_1\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2=90\mathrm{°}$のとき，${\mathrm{P}}_1$における放物線$C$の接線と放物線$C$および$y$軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．