2002　学習院大学　経済学部MathJax

【１】　$2$つの関数

$y=8x^2-6x+1$

$y=4x^2-4x+3$

のグラフを描き，それらで囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　大小$2$枚のコインがある．どちらのコインも，表が出る確率は$p$で裏が出る確率は$1-p$である．ただし，$0<p<1$とする．これら$2$枚のコインを同時に投げ，その結果により，$xy$平面上の点$\mathrm{A}$を移動させるという操作を考える．その際の規則は，

点$\mathrm{A}$の$x$座標は大きなコインが表のとき$1$増え，裏のとき$1$減り，

点$\mathrm{A}$の$y$座標は小さなコインが表のとき$1$増え，裏のとき$1$減る

ものとする．

　最初に$\mathrm{A}$は原点にあるとして，次の問いに答えよ．

(1)　上の操作を$2$回繰り返すとき，点$\mathrm{A}$が原点に戻る確率を求めよ．

(2)　上の操作を$4$回繰り返すとき，$4$回目に初めて点$\mathrm{A}$が原点に戻る確率を求めよ．

(3)　上の操作を$4$回繰り返すあいだ中，点$\mathrm{A}$が常に$\left|x\right|\leqq 2$かつ$\left|y\right|\leqq 2$を満たす範囲にとどまる確率を求めよ．

【３】　条件$0\leqq m\leqq 500\text{，}0\leqq n\leqq \sqrt{m}$を満たす整数の組$(m,n)$はいくつあるか．

【４】　$k=5x+2y$とする．実数$x$と$y$が

$x^2+xy+y^2=1$

を満たすとき，$k$の最大値と最小値を求めよ．