2003　熊本大学　前期MathJax

【１】　袋の中に$1$から$3$までの数を書いた札が$2$枚ずつ，計$6$枚入っている．この中から同時に$2$枚の札を取り出し，その数を$m\text{，}$$n$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$m\geqq n$とする．

(1)　$m=n$となる確率を求めよ．

(2)　直線$y=x+c$と点$(m,n)$との距離の$2$乗を$S$とする．$S$の期待値を求めよ．

(3)　$S$の期待値が最小になる$c$の値を求めよ．

【２】　正三角形$\mathrm{PQR}$の$3$辺$\mathrm{PQ}\text{，}$$\mathrm{QR}\text{，}$$\mathrm{RP}$上にそれぞれ点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$をとる．$\mathrm{▵PCA}\text{，}$$\mathrm{▵QAB}\text{，}$$\mathrm{▵RBC}$の外接円の中心をそれぞれ${\mathrm{O}}_1\text{，}$${\mathrm{O}}_2\text{，}$${\mathrm{O}}_3\text{，}$その半径をそれぞれ$r_1\text{，}$$r_2\text{，}$$r_3$とする．$\mathrm{▵ABC}$の$3$辺の長さを$a=\mathrm{BC}\text{，}$$b=\mathrm{CA}\text{，}$$c=\mathrm{AB}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$r_1\text{，}$$r_2\text{，}$$r_3$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$で表わせ．

(2)　$\mathrm{▵}{\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2{\mathrm{O}}_3$は正三角形であることを示せ．

【３】　関数$f(x)=1-{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{10-x^2}}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　関数$g(x)$を各区間$k\leqq x\leqq k+1$$\text{（}k=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{）}$において，

$g(x)={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{k}f(x-k)$

と定義する．

$a_n={\displaystyle {\int }_0^n}g(x)\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とするとき，数列$\{a_n\}$の極限を求めよ．

【４】　$2$つの関数$f(x)$と$g(x)$が次の関係式

$\{\begin{array}{l}f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(g(t)+t\cos t)\mathit{dt}+\sin x\\ g(x)=\sin x+{\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}(f^{\prime }(t)-\cos t)\mathit{dt}\end{array}$

を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$と$g(x)$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(f(x)-g(x))}^2\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　関数$f(x)={\log }_{2}x+2{\log }_2(6-x)$の最大値を求めよ．

【３】　円$C\text{：}{x}^2+y^2-4kx+2ky-5=0$について，次の問いに答えよ．

(1)　$C$は$k$の値に関係なくある$2$つの点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{A}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より小さいとする．

(2)　$\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=2:1$となる点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【４】　放物線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の$x$座標がそれぞれ$a\text{，}$$a+2$であるとき，次の問いに答えよ．ただし，$-2<a<0$とする．

(1)　原点を$\mathrm{O}$とするとき，$\mathrm{▵OPQ}$の面積$S_1$を求めよ．

(2)　直線$\mathrm{PQ}$と放物線で囲まれた部分の面積$S_2$を求めよ．

(3)　$S_2=2S_1$となる$a$の値を求めよ．