2004　千葉大学　前期　数学III・数学CMathJax

【１】　$y=x^2$のグラフと$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+3$のグラフで囲まれた部分を図形$F$とする．

(1)　図形$F$の面積を求めよ．

(2)　図形$F$を$x$軸の回りに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

【２】　関数$f_n(x)=(x-1)e^{{\displaystyle -\frac{x}{n}}}\text{（}n\text{は正の整数）}$について

(1)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{f}_n(x)$を求めよ．

　ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$が成り立つことを用いてもよい．

(2)　関数$y=f_n(x)$のグラフを描け．

(3)　(2)のグラフ上の点で，$y$座標を最大にする点を${\mathrm{P}}_n$とする．点${\mathrm{P}}_n$から$x$軸に垂線を引き，$x$軸との交点を${\mathrm{Q}}_n$とする．また，点$(1,0)$を$\mathrm{R}$とする．曲線$y=f_n(x)$と線分${\mathrm{RQ}}_n$および線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n$で囲まれる部分の面積を$S_n$とする．

　このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n^2}}$を求めよ．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ \mathrm{-2}& 3\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ a& b\end{array}\right)$について$AP=PB$が成り立つ．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　$P$の逆行列$P^{\mathrm{-1}}$を求めよ．

(3)　任意の正の整数$n$について$A^n$を求めよ．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n{A}^k}$を求めよ．ただし，$n$は正の整数である．

【４】　$f(x)=x^2-11$とする．関数$y=f(x)$のグラフ上の任意の点$(a,f(a))$における接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$p(a)$とする．

　ただし，$a\ne 0$である．

(1)　$p(a)$を求めよ．

(2)　$\sqrt{11}<a$のとき，$\sqrt{11}<p(a)<a$が成り立つことを示せ．

(3)　$\sqrt{11}<a$のとき，$p(a)-\sqrt{11}<{\displaystyle \frac{1}{2}}(a-\sqrt{11})$が成り立つことを示せ．

(4)　$x_1=4\text{，}{x}_{n+1}=p(x_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$によって，数列$\{x_n\}$を定めるとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\sqrt{11}$となることを示せ．