2004　熊本大学　前期MathJax

【１】　円$C_1\text{：}{x}^2+y^2=1$と円$C_2\text{：}{(x-2)}^2+{(y-4)}^2=5$とに点$\mathrm{P}$から接線を引く．$\mathrm{P}$から$C_1$の接点までの距離と$C_2$の接点までの距離との比が$1:2$になるとする．このとき，$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【２】　整数$m\text{，}$$n$が$1\leqq m<n$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x>3$ならば，不等式

$(mx-1)(nx-1)>x^2+1$

が成り立つことを示せ．

(2)　$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{1}{m}}\text{，}$$\tan \beta ={\displaystyle \frac{1}{n}}$を満たし，かつ$\tan (\alpha +\beta )$の値が整数となる角度$\alpha \text{，}$$\beta$があるとする．このような$(m,n)$の組をすべて求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　任意の自然数$n$に対して，$x\geqq 0$ならば，不等式

$e^x>{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　(1)の不等式を用いて，$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^2{e}^{-x}=0$であることを示せ．

(3)　曲線$y=x{e}^{-x}$の点$(a,a{e}^{-a})$における接線と法線が$x$軸と交わる点を，それぞれ$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$とおく．ただし$a>1$とする．線分$\mathrm{PQ}$の長さを$l(a)$とするとき，極限値$\underset{a\to \infty }{\lim }l(a)$を求めよ．

【４】　楕円$E\text{：}{(x-1)}^2+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$について，次の問いに答えよ．ただし，$b$は正の定数とする．

(1)　$E$を表す極方程式を$r=f(\theta )$とするとき，$f(\theta )$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が$E$上を動くとする．原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{P}$との距離$\mathrm{OP}$が点$(2,0)$以外で最大となるための$b$の条件を求めよ．

(3)　$b$は(2)で求めた条件を満たすとし，$\mathrm{OP}$が最大となる点における$\theta$の値を${\theta }_0$とおく．ただし$0<{\theta }_0\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．このとき(1)で求めた$f(\theta )$について，定積分

${\displaystyle {\int }_0^{{\theta }_0}}f(\theta )\mathit{d\theta }$

の値を$b$の式で表せ．

【３】　複素数$\alpha \text{，}$$\beta$を$\alpha =1+2i\text{，}$$\beta =4+4i$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$|\alpha -\bar{\beta }|$の値を求めよ．ただし$\bar{\beta }$は$\beta$の共役複素数を表す．

(2)　次の値を最小にする実数$x$を求めよ．

$|x-\alpha |+|x-\beta |$

【４】　関数$f(x)=x^2\text{，}$$g(x)=|2x^2-4|$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=g(x)$を満たす$x$の値を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフとで囲まれた部分の面積を求めよ．