2004　熊本大学　後期理学部MathJax

【１】　$x\text{，}$$y$を実数とし，行列$X=\left(\begin{array}{cc}x& -y\\ y& x\end{array}\right)$を考える．また$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}$$O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$X$に関する次の方程式を解け．

$X^2+aX+bE=O$

ここで，$a\text{，}$$b$は実数とする．

(2)　方程式$X^4=E$をみたす$X$をすべて求めよ．

【１】　関数$f(x)$および$g(x)$が次のように与えられているとする．

$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c\text{，}$

$g(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{x}}{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}\text{，}& x>0\\ c\text{，}& x=0\end{array}$

ただし$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$が$x\geqq 0$において増加聞歌であるための条件を求めよ．

(2)　(1)の条件が満たされるとき，$x\geqq 0$において，$g(x)\leqq f(x)$であることを証明せよ．

(3)　(1)の条件が満たされるとき，$g(x)$も$x\geqq 0$において増加関数であることを証明せよ．