2005　熊本大学　前期MathJax

【１】　座標空間内に$4$点$\mathrm{A}$$(3,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{D}$$(3,2,0)$を考え，線分$\mathrm{CD}$上の点$\mathrm{P}$$(x,2,0)$に対して，三角形$\mathrm{PAB}$の面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle APB}=\theta$とするとき，$\cos \theta$を$x$で表せ．

(2)　$S$の最小値を求めよ．

【２】　ボタンを$1$回押すごとに，画面に$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$のいずれかの数を表示する機械がある．この機械が数$X$を表示する確率は右のとおりである．

　次の問いに答えよ．

(1)　$b$を$a$で表せ．

(2)　ボタンを$2$回押したときに表示される数のうち小さくないほうの数を$Z$とするとき，$Z$の期待値$m$を$a$で表せ．

(3)　$m$を最大にする$a$の値を求めよ．

【３】　座標平面上において，$x$軸上の点列$\{{\mathrm{P}}_n\}$と曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$上の点列$\{{\mathrm{Q}}_n\}$を次のように定める．${\mathrm{P}}_1$$(a,0)$$\text{（}a>0\text{）}$とする．${\mathrm{P}}_n$$\text{（}n\geqq 1\text{）}$が定まったとき，${\mathrm{P}}_n$を通り$y$軸に平行な直線と$C$との交点を${\mathrm{Q}}_n$とする．${\mathrm{Q}}_n$における$C$の接線と$x$軸との交点を${\mathrm{P}}_{n+1}$とする．

　次の問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{P}}_n$$(a_n,0)$とするとき，$a_n$を$a$で表せ．

(2)　三角形${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}{\mathrm{Q}}_n$の面積を$S_n$とするとき，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$を$a$で表せ．

【４】　平面上の点の直交座標を$(x,y)\text{，}$極座標を$(r,\theta )$とする．極方程式$r=f(\theta )$によって表される曲線$C$について，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$上の点$(x,y)$について，${\left({\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{d\theta }}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{d\theta }}}\right)}^2$を$f(\theta )\text{，}$$f^{\prime }(\theta )$を用いて表せ．

(2)　$f(\theta )={\sin }^3{\displaystyle \frac{\theta }{3}}$のとき，曲線$C$の$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の部分の長さを求めよ．

【１】　座標平面上の点$\mathrm{P}$から放物線$y=x^2$へ$2$本の接線が引けて，かつ，この$2$本の接線が直交するような点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　三角関数の加法定理またはド・モアブルの定理を用いて，任意の角$\theta$に対し，次の等式が成り立つことを証明せよ．

$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$

(2)　$\theta =18\mathrm{°}$のとき，$\cos 2\theta =\sin 3\theta$が成り立つことを示せ．

(3)　$\sin 18\mathrm{°}$の値を求めよ．