2005　熊本大学　後期理学部MathJax

【１】　座標空間において$3$点$\mathrm{A}$$(3,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,-1,4)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,1,2)$をとるとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$(u,v,1)$が平面$\mathrm{ABC}$に垂直となるとき，$u\text{，}$$v$を求めよ．

(2)　$xy$平面上の円$x^2+y^2=1$を動く点$\mathrm{P}$$(p,q,0)$から平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を$p\text{，}$$q$で表せ．

(3)　$2$点間の距離$\mathrm{PH}$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$p\text{，}$$q$の値を求めよ．

【１】　方程式$y=\log x$で表される曲線を$C$とし，曲線$C$に接する傾き$p$の直線を$l$とする．このとき次の問いに答えよ．ただし$p>0$とする．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$l$と$x$軸との交点の$x$座標は$1$以下であることを示せ．

(3)　$0<p<1$のとき，$C\text{，}$$l\text{，}$$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

(4)　大きさの異なる$2$つのサイコロを投げて，大きいサイコロの目の数を$m\text{，}$小さいサイコロの目の数を$n$とするとき，直線$y=mx-n$が$C$と共通点を持たない確率を求めよ．必要があれば$2.7<e<2.8$を用いてもよい．