2005　学習院大学　理学部MathJax

【１】　大小$2$つのサイコロを投げて，大きなサイコロの目の数が$a$で小さなサイコロの目の数が$b$のとき，平面上の点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を

$\mathrm{A}(a,1)\text{，}\mathrm{B}(-1,b)$

と定める．また，原点を$\mathrm{O}$とする．

(1)　$\angle \mathrm{AOB}$が鈍角である確率を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{AOB}$が鈍角三角形である確率を求めよ．

【２】　$0$でない複素数$z$が$\arg z={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$を満たしながら動くとき，複素数平面上で${\displaystyle \frac{iz}{z-i}}$が描く図形を求め，それを図示せよ．ここで，$i$は虚数単位を表し，$\arg z$は$z$の偏角を表す．

【３】　$2$つの曲線

$C_1:y=\sqrt{x}\text{，}{C}_2:y=x^2$

と$C_1$上の点$\mathrm{P}$に対して，$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と$C_2$とで囲まれた部分の面積を$S$とする（ただし，$\mathrm{P}$は原点ではないとする）．$\mathrm{P}$が$C_1$上を動く（ただし，原点は除く）とき，$S$の最小値と，最小値を与える点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【４】　$3$次の正方行列

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$A^3=a_{1}B+b_{1}E$を満たす数$a_1\text{，}{b}_1$を求めよ．

(2)　$n$を自然数とするとき，$A^{3n}=a_{n}B+b_{n}E$を満たす数$a_n\text{，}{b}_n$を求めよ．

【５】　自然数$m$が$3$倍型であるとは，$m$の約数の総和が$3m$に等しいこととする．たとえば，自然数$6$の約数は$1\text{，}2\text{，}3\text{，}6$で，これらの和の$1+2+3+6=12$は$3\times 6=18$と等しくないので，$6$は$3$倍型ではない．

(1)　自然数$672$は$3$倍型か．

(2)　与えられた自然数$N$に対して$N$以下の自然数で$3$倍型であるものをすべて求める次のプログラムを完成させよ．

100 INPUT N

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