2005　学習院大学　文学部MathJax

【１】　四角形$\mathrm{ABCD}$は長方形で$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=4$である．対角線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{E}$とするとき，線分$\mathrm{DE}$の長さと四角形$\mathrm{EACD}$の面積を求めよ．

【２】　$1$から$4$までの数字を$1$つずつかいた$4$個の球がはいった袋から，$2$個の球を順に取り出す．ただし，最初に取り出した球は袋に戻さないとする．このとき，最初に取り出した球にかかれた数字を$a$とし，$2$番目に取り出した球にかかれた数字を$b$とする．

(1)　$a^b<b^a$となる確率を求めよ．

(2)　$a^b$の期待値を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$は実数で，方程式

$x^3-2x^2+ax+b=0$

は$x=2+i$を解にもつとする（ここで，$i$は虚数単位を表す）．このとき，$a\text{，}b$の値と上の方程式のすべての解を求めよ．

【４】　放物線$C:y=x^2$と$a<b$を満たす実数に対して，$C$上の点$(a,a^2)$における$C$の接線を$L_1$とし，$C$上の点$(b,b^2)$における$C$の接線を$L_2$とする．直線$x=b$と$C$と$L_1$とで囲まれた部分の面積を$S_1$とし，直線$x=a$と$C$と$L_2$とで囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1=S_2$であることを示せ．