2005　関西大　総合情報学部Ａ方式2月4日実施MathJax

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4\text{，}\mathrm{AC}=5\text{，}\angle \mathrm{BAC}=120°$とする．$\angle \mathrm{BAC}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．

(1)　${\displaystyle \frac{▵\mathrm{ADC}}{▵\mathrm{ABD}}}$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BD}}}$を求めよ．

(3)　$\mathrm{AD}$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{P}(p,p^2)$における接線と点$\mathrm{Q}(q,q^2)$における接線の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．ただし，$p\ne q$とする．

(2)　次の条件(ア)を満たす点の軌跡$C$を求めよ．

（ア)　その点から放物線$y=x^2$に$2$本の接線が引けて，かつそれらが互いに垂直に交わる．

【３】　$\alpha$は複素数，$R$は実数で$0<|\alpha |<R$とする．複素数平面上において，$\alpha$（の表す点）を中心とした半径$R$の円を$C$とする．原点$\mathrm{O}$と$\alpha$を通る直線と$C$との交点を$\beta \text{，}\gamma \text{（}|\beta |<|\gamma |\text{）}$とする．

　次の$\boxed{}$を$\alpha$と$R$を用いた式でうめよ．

(1)　$|\beta |=\boxed{\text{①}}\text{，}|\gamma |=\boxed{\text{②}}$である．

(2)　複素数$z$が$C$上にあるための必要十分条件は$z$が次の等式(ア)を満たすことである．

$|z-\boxed{\text{③}}|=R\cdots$(ア)

(3)　$z$が$C$上にあるとき，原点$\mathrm{O}$と$z$を通る直線が$C$と交わる点を$z^{\prime }\text{（}{z}^{\prime }\ne z\text{）}$とする．$z\ne \beta \text{，}\gamma$ならば，円周角の定理より$▵\mathrm{O}\beta z$と$▵\mathrm{O}{z}^{\prime }\gamma$は相似である．

　これより，

$|z^{\prime }|=\boxed{\text{④}}{\displaystyle \frac{1}{|z|}}$

が成り立つ．したがって，$z$と$z^{\prime }$の偏角の関係を考えれば，

$z^{\prime }=\boxed{\text{⑤}}{\displaystyle \frac{1}{\bar{z}}}$

が成り立つ．

　$z$が$C$上を動けば，$z^{\prime }$も$C$上を動くから，$z$に対する条件として，(ア)は次の(イ)と同値である．

$|{\displaystyle \frac{1}{\bar{z}}}-\boxed{\text{⑥}}|=\boxed{\text{⑦}}\cdots$(イ)

したがって，$z$が$C$上を動くとき，${\displaystyle \frac{1}{z}}$は$\boxed{\text{⑧}}$を中心とした半径$\boxed{\text{⑨}}$の円周上を動く．

【４】　$n$をあらかじめ指定する自然数として，「$1$つのコインを$n$回続けて投げる」ことを$1$回の試行とする．この試行を次の(ア)のように記録する．

(ア)　$\mathrm{H}$（$=\text{表}$）が出るごとに，その直前に$T$（$=\text{裏}$）が連続して出た回数を記録する．

　例えば，$n=3$のとき$:\mathrm{H}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{H}$なら$0\text{，}0\text{，}0;\mathrm{H}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{T}$なら$0\text{，}0;\mathrm{H}\text{，}\mathrm{T}\text{，}\mathrm{H}$なら$0\text{，}1:\mathrm{T}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{H}$なら$1\text{，}0;\mathrm{H}\text{，}\mathrm{T}\text{，}\mathrm{T}$なら$0;\mathrm{T}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{T}$なら$1;\mathrm{T}\text{，}\mathrm{T}\text{，}\mathrm{H}$なら$2$と記録し，$\mathrm{T}\text{，}\mathrm{T}\text{，}\mathrm{T}$なら空白（何も記録しない）とする．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$n=5$のとき，$1$回の試行の記録が

• 空白となる確率は$\boxed{\text{①}}$，
• 長さ$2$の列となる（すなわち，数字が$2$つ並ぶ）確率は$\boxed{\text{②}}$，
• 数字が$1$だけからなる列となる確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(2)　一般の$n$で，$1$回の試行の記録に現れる数字が，

• $0$だけとなる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{④}}}{2^n}}$，
• $1$だけとなる確率は，$n$が奇数のとき${\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑤}}}{2^n}}$，
• $n$が偶数のとき${\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑥}}}{2^n}}$，
• $4$種類以上となる確率が正であるための必要十分条件は$\boxed{\text{⑦}}\leqq n$である．

(3)　$n=10$のとき，$1$回の試行の記録に現れる数字が$1$種類となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑧}}}{2^{10}}}$である．

(4)　$n=20$のとき，$1$回の試行の記録に，$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3$の数字がすべて$2$回以上現れる確率を分子が奇数である分数で表せば，分母は$2^{\boxed{\text{⑨}}}\text{，}$分子は$\boxed{\text{⑩}}$である．