2005　関西大　後期B日程工学部3月3日実施MathJax

【１】　$a$は正の定数であり，$2$つの曲線

$C_1:y=a{(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})}^2\text{，}{C}_2:y=\sin x$

は$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき交わる．この交点を$\mathrm{P}$とする．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$a$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{①}}}{{\pi }^2}}$である．曲線$C_1\text{，}{C}_2$の$\mathrm{P}$以外の交点の$x$座標は$\boxed{\text{②}}$である．

(2)　点$\mathrm{P}$における曲線$C_1$の接線は$y$軸と点$(0,\boxed{\text{③}})$で交わり，$x$軸と点$(\boxed{\text{④}},0)$で交わる．

　また，点$\mathrm{P}$における曲線$C_2$の接線は$y$軸と点$(0,\sqrt{2}\boxed{\text{⑤}})$で交わり，$x$軸と点$(\boxed{\text{⑥}},0)$で交わる．

(3)　曲線$C_1\text{，}{C}_2$で囲まれる図形の面積は$\sqrt{2}(1-\boxed{\text{⑦}})$である．

【２】　複素数$z$は$|z|=1$を満たし，$z$の偏角$\theta$は$0°\leqq \theta \leqq 90°$の範囲にあるものとする．$n$を自然数とし，

$z^n+\sqrt{2}{\bar{z}}^3=-1\cdots \text{Ⓐ}$

を満たす$z$を以下のように求める．

　次の$\boxed{}$をうめよ，ただし，$i$は虚数単位であり，$\bar{z}$は$z$と共役な複素数である．

　$\text{Ⓐ}$より

$z^n{\bar{z}}^n=3+\boxed{\text{①}}\times (z^3+{\bar{z}}^3)\cdots \text{Ⓑ}$

となる．$\theta$を用いて$z$を極形式$\boxed{\text{②}}$で表して$\text{Ⓑ}$に代入すると，$\cos 3\theta$の値が$\boxed{\text{③}}$に等しいことがわかる．これを満たす$\theta$は$2$つあり，それらを$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とすると，

$\alpha =\boxed{\text{④}}°\text{，}\beta =\boxed{\text{⑤}}°$

である．

　また，偏角が$\beta$である$z$の実部は$\boxed{\text{⑥}}\text{，}$虚部は$\boxed{\text{⑦}}$である．

　$\text{Ⓐ}$を満たし，偏角が$\alpha$である$z$が存在する最小の$n$は$\boxed{\text{⑧}}$である．

　$\text{Ⓐ}$を満たし，偏角が$\alpha$である$z$が存在する最小の$n$は$\boxed{\text{⑨}}$である．

【３】　$▵\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{C}$とし，$\mathrm{CB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\boxed{\text{①}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{②}}\overrightarrow{b}$

と表される．

(2)　今，$\mathrm{D}$を通る直線$l$が$\mathrm{O}$以外の点で$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$と共有点をもつとし，$l$と$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{a}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t\overrightarrow{b}$

とおく．$\mathrm{PD}:\mathrm{DQ}=k:(1-k)$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\boxed{\text{③}}s\overrightarrow{a}+\boxed{\text{④}}t\overrightarrow{b}$

であるから，$t$は$s$を用いて$t=\boxed{\text{⑤}}$と表されることが分かる．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$上の$\mathrm{O}$以外の点であるとき，$s$の値のとりうる範囲は$\boxed{\text{⑥}}\leqq s\leqq \boxed{\text{⑦}}$である．

(3)　$▵\mathrm{OAB}$の面積を$M\text{，}▵\mathrm{OPQ}$の面積を$yM$とすると，$y$は$s$を用いて$y=\boxed{\text{⑧}}$と表される．

　$y$の最大値は$\boxed{\text{⑨}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{⑩}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　直線$y=mx+1-m$が，円$x^2+y^2=1$と$2$点で交わるとき，その$2$点間の距離が$\sqrt{{\displaystyle \frac{12}{5}}}$となるのは，$m=\boxed{\text{①}}$のときである．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$x^{\frac{1}{3}}+x^{-\frac{1}{3}}=2\sqrt{2}$のとき，$x^2+x^{-2}=\boxed{\text{②}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　$n$を自然数，$c$を$c<1$を満たす定数とし，$x$に関する$2$次方程式

$x^2+2nx+c=0$

の解の大きい方を$a_n$とすると，$\underset{n\to \infty }{\lim }n{a}_n=\boxed{\text{③}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　$4^{x+y}=8^{x-y}\text{，}{3}^{x-2y}=9^{-x+2y+3}$が同時に成立するならば，$x=\boxed{\text{④}}\text{，}y=\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　$3$個のさいころを同時に投げたとき，出た目の数の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とする．$m\geqq 3$かつ$M\leqq 5$である確率は$\boxed{\text{⑥}}$であり，$m\geqq 3$かつ$M=5$である確率は$\boxed{\text{⑦}}$である．