2006　大学入試センター試験　追試験　数学II／数学IIBMathJax

$f(x)=2\cos (3x-90°)\text{，}$$g(x)=2\sin (3x-90°)$

で定める．

(1)　$f(x)$と$g(x)$の積は

$f(x)g(x)=\boxed{\text{アイ}}\sin (\boxed{\text{ウ}}x)$

であり，$f(x)g(x)$の周期のうち正で最小のものは$\boxed{\text{エオ}}°$である．

(2)　$f(x)$と$g(x)$の和は

$f(x)+g(x)$$=\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}\sin (\boxed{\text{ク}}x-\boxed{\text{ケコ}}°)$

である．したがって，$0°\leqq x\leqq 90°$の範囲で，$f(x)+g(x)$は

$x=\boxed{\text{サシ}}°\text{のとき最大値}\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}$

をとる．

${\log }_2(x+a)+{\log }_2(x-3)+{\log }_{\frac{1}{2}}(4-4a)<0$$\cdots$(＊)

が成り立つような$x$の値の範囲を求めよう．

　対数の真数は正であるから

$x>\boxed{\text{ソタ}}\text{，}$$x>\boxed{\text{チ}}\text{，}$$a<\boxed{\text{ツ}}$

である．また，不等式(＊)は

$(x+\boxed{\text{テ}}-\boxed{\text{ト}})(x+\boxed{\text{ナ}})<0$

と変形できる．

　したがって，不等式(＊)を満たす$x$の値の範囲は

$a<-\boxed{\text{チ}}$のとき$\boxed{\text{ニヌ}}<x<\boxed{\text{ネ}}-\boxed{\text{ノ}}$

$-\boxed{\text{チ}}\leqq a<\boxed{\text{ツ}}$のとき$\boxed{\text{ハ}}<x<\boxed{\text{ヒ}}-\boxed{\text{フ}}$

である．

$f(x)=-x^2+2ax\text{，}$$g(x)=2x^2$

とおく．

(1)　関数$F(x)$を

$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}\{f(t)-g(t)\}dt$

で定義すると

$F(x)=-x^{\boxed{\text{ア}}}+\boxed{\text{イ}}{x}^{\boxed{\text{ウ}}}$

である．二つの放物線$f(x)\text{，}$$g(x)$で囲まれた図形の面積$S$は$a$を用いて

$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オカ}}}}{a}^{\boxed{\text{キ}}}$

と表される．

(2)　$T(a)={\displaystyle {\int }_0^2}|f(x)-g(x)|dx$とおき，$T(a)$を$a$の関数と考える．$T(a)$は

• $0<a<\boxed{\text{ク}}$のとき$T(a)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}}{a}^{\boxed{\text{シ}}}-\boxed{\text{ス}}a+\boxed{\text{セ}}$
• $a\geqq \boxed{\text{ク}}$のとき$T(a)=\boxed{\text{ソ}}a-\boxed{\text{タ}}$

と表される．したがって，$a>0$の範囲において，$T(a)$は

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}{\boxed{\text{テ}}}}$

のとき，最小値

$\boxed{\text{ト}}-\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}$

をとる．

(1)　$l$の方程式は$y=\boxed{\text{ア}}x+\boxed{\text{イ}}$であり，$\mathrm{P}$の$x$座標は

${\displaystyle \frac{-\boxed{\text{ウ}}a}{a^{\mathrm{エ}}+\boxed{\text{オ}}}}$

である．また，$m$ の方程式は

$\boxed{\text{カ}}ax+(a^{\boxed{\text{キ}}}-\boxed{\text{ク}})y+a^{\boxed{\text{キ}}}+\boxed{\text{ケ}}=0$

である．

(2)　線分$\mathrm{QR}$の長さを$s$とすると

$a^2-\boxed{\text{コ}}sa+\boxed{\text{サ}}=0$

が成り立つ．この式は

${(\boxed{\text{シ}}-s)}^2+\boxed{\text{ス}}-s^2=0$

と変形できる．したがって，実数$a$が正の値をとって動くとき，$s$の最小値は$\sqrt{\boxed{\text{セ}}}$であり，そのときの$a$の値は$\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$である．

$P(x)=x^3-a{x}^2-ax+2a-1$

とする．

(1)　$3$次方程式$P(x)=0$は$x=\boxed{\text{ア}}$を解にもつので

$P(x)=(x-\boxed{\text{ア}})$$\times \{x^2+(\boxed{\text{イ}}-\boxed{\text{ウ}})x-\boxed{\text{エオ}}+\boxed{\text{カ}}\}$

と因数分解される．

(2)　方程式$P(x)$の三つの解が，相異なる整数$\boxed{\text{ア}}\text{，}$$m\text{，}$$n$$(m<n)$であるとする．このとき$a$の値を求めよう．

$m+n=\boxed{\text{キ}}-\boxed{\text{ク}}\text{，}$$mn=\boxed{\text{ケ}}-\boxed{\text{コサ}}$

であるから

$(m+\boxed{\text{シ}})(n+\boxed{\text{シ}})=3$

が成り立つ．よって

$m=\boxed{\text{スセ}}\text{，}n=\boxed{\text{ソタ}}$

である．このことから，求める$a$の値は

$a=\boxed{\text{チツ}}$

である．

(3)　方程式$P(x)=0$が虚数の解をもつような$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{テト}}-\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}<a$$<\boxed{\text{テト}}+\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}$

である．虚数の解の虚部が$\sqrt{2}\text{，}$$-\sqrt{2}$となるような$a$の値は，小さい方から順に

$a=-\boxed{\text{ヌ}}$と$a=-\boxed{\text{ネ}}$

である．

$g(x)=a{x}^2+bx+c$

とおく．$2$次方程式$g(x)=0$は$x=1$を解にもち，また，すべての実数$x$に対して$g(x)\geqq 0$が成り立つとする．

(1)　$b$は$a$を用いて，$b=\boxed{\text{アイ}}a$と表される．

(2)　$f(x)={\displaystyle {\int }_1^x}g(t)dt$とすると，$f(x)$は$a$を用いて

$f(x)={\displaystyle \frac{a}{\boxed{\text{ウ}}}}(x^3-\boxed{\text{エ}}{x}^2+\boxed{\text{オ}}x-\boxed{\text{カ}})$

と表される．関数$f(x)$と$g(x)$の間に${\{f(x)\}}^2={\{g(x)\}}^3$という関係が成り立つとき，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$である．

(3)　$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$とする．このとき，曲線$y=f(x)$上の点$\left(t,f(t)\right)$における接線の方程式は

$y={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ケ}}}}{(t-\boxed{\text{コ}})}^{\boxed{\text{サ}}}(x-t)$$+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{シス}}}}{(t-\boxed{\text{セ}})}^{\boxed{\text{ソ}}}$

である．よって，直線$y=kx$$(k\ne 0)$が曲線$y=f(x)$に接するときの接点の座標は

${\displaystyle (-\frac{1}{\boxed{\text{タ}}},-\frac{1}{\boxed{\text{チ}}})}$

であり，このときの$k$の値は$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$である．

　また，直線$y=kx$と曲線$y=f(x)$が相異なる$3$点で交わるような$k$の値の範囲は

$k\boxed{\text{ト}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$

である．ただし，$\boxed{\text{ト}}$については，当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}\ne$
• $\overline{)\text{1}}\leqq$
• $\overline{)\text{2}}\geqq$
• $\overline{)\text{3}}<$
• $\overline{)\text{4}}>$

　$\{b_n\}$の公差を$x\text{，}$$\{c_n\}$の公差を$y$とする．

$a_{n+6}-a_n=b_{n+\boxed{\text{ア}}}+b_n$

である．このような変形をくりかえすことにより

$a_{n+15}-a_n=\boxed{\text{イ}}xn+\boxed{\text{ウエ}}x+\boxed{\text{オカ}}\cdots \text{①}$

となる．同様に$\{c_n\}$を使うことにより

$a_{n+15}-a_n=\boxed{\text{キ}}yn+\boxed{\text{クケ}}y+\boxed{\text{コサ}}\cdots \text{②}$

となる．$\text{①}\text{，}$$\text{②}$より

$\boxed{\text{イ}}x=\boxed{\text{キ}}y\text{，}$$\boxed{\text{ウエ}}x+\boxed{\text{オカ}}=\boxed{\text{クケ}}y+\boxed{\text{コサ}}$

が成り立つ．このことから

$x=\boxed{\text{シス}}\text{，}$$y=\boxed{\text{セソ}}$

である．

　さらに

$a_{n+1}-a_n=b_{n+\boxed{\text{ア}}}+b_n-c_{n+1}$$=\boxed{\text{タ}}n-\boxed{\text{チ}}$

である．このことから

$a_n=\boxed{\text{ツ}}{n}^2-\boxed{\text{テ}}n+\boxed{\text{ト}}$

である．

(1)　$0<a<1$として，線分$\mathrm{EF}$を$a:(1-a)$に内分する点を$\mathrm{G}$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{OG}}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ア}}}}(\boxed{\text{イ}}-\boxed{\text{ウ}})\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}(\boxed{\text{イ}}-\boxed{\text{ウ}})\overrightarrow{\mathrm{OB}}$$+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

である．

(2)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$で定まる平面$\mathrm{OBC}$と直線$\mathrm{DG}$の交点を求めよう．点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{DG}$上にあるとき，実数$t$を用いて

• $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+t\overrightarrow{\mathrm{DG}}$
• $\phantom{\overrightarrow{\mathrm{OP}}}={\displaystyle \frac{1-\boxed{\text{ク}}t}{\boxed{\text{ケ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}(\boxed{\text{イ}}-\boxed{\text{ウ}})t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$$+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}t\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

と表せる．したがって，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$のとき

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{スセ}}}(\boxed{\text{イ}}-\boxed{\text{ウ}})\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}}$$\cdots \text{①}$

であり，このとき，点$\mathrm{P}$は平面$\mathrm{OBC}$上にある．したがって，$\text{①}$を満たす点$\mathrm{P}$が平面$\mathrm{OBC}$と直線$\mathrm{DG}$の交点である．

(3)　(2)で求めた交点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{BC}$上にあるのは$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$のときである．このとき，さらに四面体$\mathrm{OABC}$が一辺の長さが$1$の正四面体ならば

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}·\overrightarrow{\mathrm{DP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

である．

　以下，計算結果の小数表示は，指定された$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$数の一つ下の桁を四捨五入し，解答せよ．途中で割り切れた場合は，指定された桁まで$\overline{)\text{0}}$にマークすること．

(1)　$\mathrm{A}$組と$\mathrm{B}$組を合わせた$7$人の選手のタイムを変量$x$とする．変量$y$を$y=x-14.0$としたとき，変量$y$の平均値は$\boxed{\text{アイ}}.\boxed{\text{ウエ}}$秒であり，もとの変量$x$の平均値は$\boxed{\text{オカ}}.\boxed{\text{キク}}$秒である．また，変量$y$の分散は$\boxed{\text{ケ}}.\boxed{\text{コサ}}$であり，もとの変量$x$の分散は$\boxed{\text{シ}}.\boxed{\text{スセ}}$である．

(2)　$\mathrm{B}$組$3$人の選手の中の$1$人の選手のタイムは，ちょうど$14.0$秒であることがわかったとする．このとき，他の$2$人の選手のタイムは走った方から順に，$\boxed{\text{ソタ}}.\boxed{\text{チ}}$秒と$\boxed{\text{ツテ}}.\boxed{\text{ト}}$秒である．

　さらに，$\mathrm{B}$組  $3$人の選手の体重が，早く走った選手から順に，$57.0\text{，}$$54.0\text{，}$$60.0(\text{単位は}kg)$であるとき，選手の体重と$\mathrm{100m}$走のタイムの相関係数は$\boxed{\text{ナ}}.\boxed{\text{ニヌ}}$となる．

　一般に，$n$が$r$桁の数$a_1{a}_2\cdots a_r$ならば，小数を用いて

$n=a_1.a_2\cdots a_r\times {10}^{r-1}$

と表される．例えば，$n=475$のとき，$r=3\text{，}$$a_1=4\text{，}$$a_2=7\text{，}$$a_3=5$であり，$n=4.75\times {10}^2$である．

　このとき

${\log }_{10}{a}_1\leqq {\log }_{10}n-(r-1)<{\log }_{10}(a_1+1)\cdots$(＊)

が成り立つ．

　$m$を自然数とする．$m$以下の負でない整数$l$で$f(2^l)=1$を満たすものの個数を計算するプログラムを作った．ただし次の〔プログラム１〕において， B は求める個数を表す変数であり，LOG10(X) は X の常用対数${\log }_{10}\mathtt{X}$を表す関数，INT(X) は X を超えない最大の整数を表す関数である．

〔プログラム１〕

• 100 INPUT PROMPT "m=":M
• 110 LET A=LOG10($\boxed{\text{ア}}$ )
• 120 LET B= $\boxed{\text{イ}}$
• 130 FOR L=0 TO M
• 140 IF A $\boxed{\text{ウ}}$ L*A-INT(L*A) THEN LET B=B+1
• 150 NEXT L
• 160 PRINT B
• 170 END

　ただし，100 行，110 行，120 行，140 行は，それぞれ次の各行と同じ意味である．

• 100 INPUT "m=";M
• 110 A=LOG10( $\boxed{\text{ア}}$ )
• 120 B= $\boxed{\text{イ}}$
• 140 IF A $\boxed{\text{ウ}}$ L*A-INT(L*A) THEN B=B+1

(1)　$\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{イ}}$に当てはまる数を入れよ．

(2)　$\boxed{\text{ウ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}<$
• $\overline{)\text{1}}>$
• $\overline{)\text{2}}=$
• $\overline{)\text{3}}<=$
• $\overline{)\text{4}}>=$

(3)　〔プログラム１〕を実行し，変数 M に$10$を入力する．このとき，このプログラムにより出力される値は $\boxed{\text{エ}}$である．

　$m$を自然数とする．$k=1\text{，}$$2\text{，}\mathrm{\cdots }\text{，}$$9$に対して，$m$以下の負でない整数$l$で$f(2^l)=k$を満たすものの個数を計算するプログラムを作った．ただし，以下の〔プログラム２〕において，LOG10(X) は X の常用対数${\log }_{10}\mathtt{X}$を表す関数，INT(X) は X を超えない最大の変数を表す関数である．

〔プログラム２〕

• 100 INPUT PROMPT "m=":M
• 110 LET A=LOG10( $\boxed{\text{ア}}$ )
• 120 FOR K=1 TO 9
• 130  LET B= $\boxed{\text{イ}}$
• 140  FOR L=0 TO M
• 150   IF LOG10(K) $\boxed{\text{オ}}$ L*A-INT(L*A) THEN GOTO 180
• 160   IF LOG10(K+1) $\boxed{\text{カ}}$ L*A-INT(L*A) THEN GOTO 180
• 170   LET B=B+1
• 180  NEXT L
• 190  PRINT "k=";K;";";B
• 200 NEXT K
• 210 END

ただし，100 行，110 行，130 行，170 行は，それぞれ次の各行と同じ意味である．

$\begin{array}{l}\mathtt{\text{100}}\mathtt{\text{INPUT "m=";M}}\\ \mathtt{\text{110}}\mathtt{\text{A=LOG10(}}\boxed{\text{ア}}\mathtt{\text{)}}\\ \mathtt{\text{130}}\mathtt{\text{B=}}\boxed{\text{イ}}\\ \mathtt{\text{170}}\mathtt{\text{B=B+1}}\\ \end{array}$

(4)　$\boxed{\text{オ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}<$
• $\overline{)\text{1}}>$
• $\overline{)\text{2}}=$
• $\overline{)\text{3}}<>$

(5)　$\boxed{\text{カ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}<=$
• $\overline{)\text{1}}>=$
• $\overline{)\text{2}}=$
• $\overline{)\text{3}}<>$

(6)　〔プログラム２〕を実行し，変数 M に$2$を入力する．このとき，160 行は $\boxed{\text{キ}}$回実行される．

(7)　〔プログラム２〕を実行し，変数 M に$15$を入力する．このとき，$f(2^l)=4$となる$l$の個数は $\boxed{\text{ク}}$であり，$f(2^l)=9$となる$l$の個数は $\boxed{\text{ケ}}$である．

(8)　$2^l$の最上位の桁の数字が$k$のとき，先の (＊) により

${\log }_{10}k\leqq {\log }_{10}{2}^l-[{\log }_{10}{2}^l]<{\log }_{10}(k+1)$

が成り立つ．ただし，$[{\log }_{10}{2}^l]$は${\log }_{10}{2}^l$を超えない最大の整数を表す．$k$が増加するとき，この区間の幅${\log }_{10}(k+1)-{\log }_{10}k$は$\boxed{\text{コ}}\text{．}$$\boxed{\text{コ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　減少する
• $\overline{)\text{1}}$　変わらない
• $\overline{)\text{2}}$　増加する

$\overline{)\text{3}}$　増加することも減少することもある

(1)　$\alpha$の偏角$\arg \alpha$は$\arg \alpha =\pm \boxed{\text{アイウ}}°$である．ただし，$\arg \alpha$は$\mathrm{-180}°<\arg \alpha \leqq 180°$の範囲で考える．

(2)　$\arg \alpha =\boxed{\text{アイウ}}°$とする．$0$でない複素数$z_0$を表す点を$\mathrm{P}$とし，直線$l$に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{AC}$の垂直二等分線$m$に関して$\mathrm{Q}$と対称な点を$\mathrm{R}$とし，点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$が表す複素数をそれぞれ$z_1\text{，}$$z_2$とする．このとき

$z_0{z}_1={\left|z_0\right|}^2{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}+\sqrt{\boxed{\text{カ}}}i}{\boxed{\text{キ}}}}\text{，}$

$z_1{z}_2={\left|z_1\right|}^2{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}-\sqrt{\boxed{\text{カ}}}i}{\boxed{\text{キ}}}}$

であり，$z_2$を$z_0$で表すと，$\mathrm{R}$は$\mathrm{P}$を原点の回りに$\boxed{\text{クケコ}}°$だけ回転した点であることがわかる．

(3)　$z_0=1-i$のとき，$\mathrm{R}$が表す複素数$z_2$は

$z_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシ}}+\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}+\frac{\boxed{\text{ソ}}+\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}{\boxed{\text{チ}}}i}$

であり，線分$\mathrm{PR}$の長さは$\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$である．また

${\displaystyle \frac{z_1-z_0}{z_2-z_0}=\frac{\boxed{\text{テ}}+\sqrt{\boxed{\text{ト}}}}{\boxed{\text{ナ}}}(\boxed{\text{ニ}}+i)}$

である．　

　以下では，例えば，$X=k$となる確率を$P(X=k)$で表す．

(1)　$X$は $\boxed{\text{ア}}$通りの値をとり，$Y$は$\boxed{\text{イ}}$通りの値をとる．

(2)　$P(X=0\text{かつ}Y=2)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エオ}}}}$であり，$P(X=0\text{かつ}Y=3)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キク}}}}$である．また，$P(X=0)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$である．

(3)　$X=1$という条件のもとで，$Y=3$となる条件付き確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．

(4)　$X$の平均は $\boxed{\text{ス}}$であり，$Y$の平均は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$である．

　$X+Y$の平均は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$であり，$X+Y$の分散は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{トナ}}}{\boxed{\text{ニヌ}}}}$である．