2006　熊本大学　前期MathJax

【１】　大小$2$つのサイコロを投げて，大きいサイコロの目の数を$a\text{，}$小さいサイコロの目の数を$b$とする．次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=a{x}^2+2x-b$の最小値が$-5$より小さくなる確率を求めよ．

(2)　関数$y=a{x}^2+2x-b$のグラフと$x$軸との交点で，$x$座標の大きい方を選ぶ．その$x$座標が$1$より大きくなる確率を求めよ．

(3)　関数$y=a{x}^2+2x-b$のグラフと関数$y=b{x}^2$のグラフが異なる$2$点で交わる確率を求めよ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間の$4$点$\mathrm{A}$$(\sqrt{3},3,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-\sqrt{3},3,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,2,2)\text{，}$$\mathrm{P}$$(0,1,0)$および，平面$\mathrm{OAC}\text{，}$$\mathrm{OBC}\text{，}$$\mathrm{ABC}$上にそれぞれ点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$をとる．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PR}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$が平面$\mathrm{OAC}\text{，}$$\mathrm{OBC}\text{，}$$\mathrm{ABC}$にそれぞれ直交するとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を成分で表せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$を成分で表せ．

(3)　$\mathrm{▵QRS}$の面積を求めよ．

【３】　$n$を自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$n\geqq 2$のとき，関数$f(x)={(1-x)}^3{x}^n$の極値を求めよ．

(2)　定積分$a_n={\displaystyle {\int }_0^1}{(1-x)}^3{x}^n\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の和を求めよ．

【４】　関数$f(x)=1+{\displaystyle {\int }_{-x}^x}{\displaystyle \frac{1+{\tan }^{2}t}{1+e^{\tan t}}}\mathit{dt}$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$u=e^{\tan t}$を$t$で微分せよ．

(2)　$f(x)$を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=0\text{，}$$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$で囲まれた部分を$x$軸の周りに回転して得られる図形の体積を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$\{\begin{array}{l}{a}_1=-2\\ a_{n+1}+a_n=3n-2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

次の問いに答えよ．

(1)　$b_n=a_n-{\displaystyle \frac{6n-7}{4}}$とおくとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{50}}{a}_n$の値を求めよ．

【３】　関数$f(x)=|x(x+1)|-x+1$に対して，$y=f(x)$のグラフを$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$上の点$(a,f(a))$$\text{（}-1<a<0\text{）}$における接線が$2$点$\mathrm{P}$$(-1,2)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(0,1)$を通る直線に平行になるとき，$a$の値およびその接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　放物線$y=x^2+1$と曲線$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(3)　(1)の接線$l$と曲線$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　$\mathrm{▵OAB}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{OB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$とする．辺$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OE}:\mathrm{EA}=1:4$となる点$\mathrm{E}$をとる．線分$\mathrm{OC}$と線分$\mathrm{BE}\text{，}$$\mathrm{AD}$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$をベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$をベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$で表せ．

(3)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{5}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}$内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1$のとき，$\mathrm{▵PQR}$の面積を求めよ．