2006　熊本大学　後期理学部MathJax

【１】　以下の$\text{ア}$から$\text{コ}$に適当な数を入れよ．

　$xy$平面上の$2$点$\mathrm{A}$$(1,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,\text{ア})$を通る直線$l_1$の方程式は

$x+\text{イ}y+3=0$

となる．$l_1$に直交し点$\mathrm{C}$$(3,\text{ウ})$を通る直線$l_2$の方程式は

$\text{エ}x+y-6=0$

となる．三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\text{オ}$であり，外接円の方程式は

${(x-\text{カ})}^2+{(y-\text{キ})}^2=\text{ク}$

となる．放物線$y=\text{ケ}{x}^2+\text{コ}$は$l_1\text{，}$$l_2$と接している．

【２】　円${(x-p)}^2+{(y-q)}^2=p^2+q^2+1$を$C(p,q)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C(p,q)$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}\text{，}$${\mathrm{A}}^{\prime }$とし，$C(p,q)$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }$とする．$\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$$\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }$を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }=2\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }$であるような$C(p,q)$の中心$(p,q)$の軌跡は双曲線であることを示せ．また双曲線の頂点の座標と漸近線の方程式を求めよ．

(3)　点$(3,4)$が$C(p,q)$の周上または内部にあるとき，$p\text{，}$$q$が満たす条件を求めよ．またその条件が表す領域を$pq$平面上に図示せよ．

(4)　$p\text{，}$$q$が(3)の条件を満たすとき，$C(p,q)$の半径の最小値を求めよ．また最小値をとるときの$p$と$q$の値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n(n+2)(n+4)}}$の和を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}x\log (x^2+1)\mathit{dx}$の値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　関数$(6x-7)e^{2x^3}$の微分係数が$0$となる$x$の値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　曲線$y=\log (x^2+2x+2)$の変曲点における接線の方程式を求めよ．

【２】　$f(x)={(x-\alpha )}^2(x-\beta )$とする．ただし，$\alpha >\beta$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$が極大値をとる$x$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(2)　$f(x)$の極大値が$4$となるとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．