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2007-10901-0101
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2007 熊本大学 前期
理,工,医(看護以外),薬学部
教育,医(看護)学部【3】の類題
易□ 並□ 難□
【1】 a を定数とする. 2 つの放物線
C1 :y=- x2 , C2 :y=3 ⁢( x-1) 2+ a
について,以下の問いに答えよ.
(1) C1 , C2 の両方に接する直線が 2 本存在するための a の条件を求めよ.
(2) C1 , C2 の両方に接する 2 本の直線が,直交するときの a の値を求めよ.
(3) C1 , C2 の両方に接する 2 本の直線が, π 4 の角度で交わるときの a の値を求めよ.
2007-10901-0102
理,工,医,薬,教育学部
教育,医(看護)学部【1】の類題
【2】 x⁣y 平面上で,点 P は原点を出発点とし,さいころを 1 回投げるたびに以下のように進むものとする. 1 または 2 の目が出たときは x 軸方向に 1 だけ進み, 3 の目が出たときは x 軸方向に - 1 だけ進み, 4 または 5 の目が出たときは y 軸方向に 1 だけ進み, 6 の目が出たときは y 軸方向に - 1 だけ進む.以下の問いに答えよ.
(1) さいころを5 回投げるとき,点 P が座標 ( 2,-3 ) の位置にいる確率を求めよ.
(2) さいころを n 回投げるとき,点 P が x 軸上のみを動いて最後に原点にいる確率を求めよ.
(3) さいころを 2 回投げるとき,点 P の x 座標の期待値を求めよ.
2007-10901-0103
【3】 行列 A の表す移動によって x ⁣y 平面上の点 ( 0,1 ), (1 ,2) はそれぞれ ( 1,1 ), (2 ,1) に移されるとする.以下の問いに答えよ.
(1) 行列 A を求めよ.
(2)曲線 y =ex 上を点 P (t, et ) が動くとき, P がこの移動によって移る点の軌跡 C を求めよ.ただし, -∞< t<∞ とする.
(3) 曲線 D を y =x+log ⁡(e+ 1e -x ) とする.ただし, x<e+ 1e である. 2 つの曲線 C と D で囲まれる領域の面積を求めよ.
2007-10901-0104
【4】 a を定数とする.方程式 (log⁡ x) 2=a ⁢x ( x>0 ) について,以下の問いに答えよ.
(1) 解の個数を調べよ.必要なら, limx→ ∞ (log ⁡x) 2x= 0 を用いよ.
(2) 解がちょうど 2 個のとき,これらの解を p 2 , q2 ( 0<p< q) とおく. q の値を求めよ.また, p は ee+1 <p <1 を満たすことを示せ.
2007-10901-0105
教育,医(看護)学部
理,工,医,薬,教育学部【2】の類題
【1】 x⁣y 平面上で,点 P は原点を出発点とし,さいころを 1 回投げるたびに以下のように進むものとする. 1 または 2 の目が出たときは x 軸方向に 1 だけ進み, 3 の目が出たときは x 軸方向に - 1 だけ進み, 4 または 5 の目が出たときは y 軸方向に 1 だけ進み, 6 の目が出たときは y 軸方向に - 1 だけ進む.以下の問いに答えよ.
(2) さいころを 4 回投げるとき,点 P が x 軸上のみを動いて最後に原点にいる確率を求めよ.
2007-10901-0106
【2】 四面体 OABC の 6 つの辺の長さを
OA=10 , OB=5 , OC=6 , AB=5 , AC=2⁢ 2 , BC=5
とする.以下の問いに答えよ.
(1) 内積 OA →⋅ OB→ , OA→ ⋅OC→ , OB→ ⋅OC→ の値をそれぞれ求めよ.
(2) OH→ = 15 ⁢OA →+ 25 ⁢ OB→ とおくとき, CH→ は OA → と OB → のいずれとも直交することを示せ.
(3) 四面体 OABC の体積を求めよ.
2007-10901-0107
理,工,医(看護以外),薬学部【1】の類題
【3】 a を定数とする. 2 つの放物線
2007-10901-0108
【4】 数列 { xn } および { yn } は以下の条件を満たしているものとする.
x1 =8 , y1= -5
xn+ 1=2 ⁢xn +yn +3⁢n -8 ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
yn+ 1=2 ⁢yn +xn- 3⁢n+ 8 ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
以下の問いに答えよ.
(1) zn= xn+ yn , また w n=x n-y n とおく.数列 { zn } および { wn } の一般項を求めよ.
(2) x⁣y 平面上の点 ( xn, yn ) と直線 y =x との距離が最小になるような n の値をすべて求めよ.