2008　山形大学　前期MathJax

【１】　連立不等式

$\{\begin{array}{l}3x+2y\leqq 22\\ x+4y\leqq 24\\ x\geqq 0\\ y\geqq 0\end{array}$

の表す座標平面上の領域を$D$とする．このとき次の問に答えよ．

(1)　$2$つの直線

$3x+2y=22\text{，}$$x+4y=24$

の交点の座標を求めよ．

(2)　領域$D$を図示せよ．

(3)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，以下の(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)に答えよ．

(ⅰ)　$x+y$の最大値，および，その最大値を与える$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

(ⅱ)　$2x+y$の最大値，および，その最大値を与える$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

(ⅲ)　$a$を正の実数とするとき，$ax+y$の最大値を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$a:(1-a)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{CP}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$直線$\mathrm{AM}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$a$は$0<a<1$を満たす定数である．このとき次の問に答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$および$a$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす実数$k$を$a$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{MQC}$の面積を$S\text{，}$三角形$\mathrm{MAP}$の面積を$T$とする．このとき，${\displaystyle \frac{S}{T}}$を$a$を用いて表せ．

【３】　半径$1$の円に内接する正五角形$\mathrm{ABCDE}$の一辺の長さを$a$とし，$\alpha ={\displaystyle \frac{2}{5}}\pi$とおく．このとき次の問に答えよ．

(1)　$\sin 3\alpha +\sin 2\alpha =0$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$\cos \alpha$の値を求めよ．

(3)　$a$の値を求めよ．

(4)　線分$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

【４】　座標平面において，$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=\cos x$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$

$C_2\text{：}y=\cos 2x$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$

を考える．また，$4$つの点$(0,1)\text{，}$$(2\pi ,1)\text{，}$$(2\pi ,-1)\text{，}$$(0,-1)$を頂点とする長方形を$R$とする．このとき次の問に答えよ．

(1)　$2$つの曲線$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．

(2)　長方形$R\text{，}$および$2$つの曲線$C_1\text{，}$$C_2$を描け．

(3)　$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を$S$とし，長方形$R$の面積を$T$とする．$S$と$T$を求めよ．

(4)　$S$と${\displaystyle \frac{T}{2}}$の大小を調べよ．

【１】　複素数に関する以下の問いに答えよ．ここで，$i$は$i^2=-1$を満たす虚数単位である．

(1)　$(3+2i)x+(1-i)y+4+i=0$を満たす実数$x\text{，}$$y$を求めよ．

(2)　${(a+bi)}^3$を展開し，実部と虚部を$a$および$b$で表せ．ただし，$a\text{，}$$b$はともに実数とする．

(3)　${(a+bi)}^3=-i$を満たす実数$a\text{，}$$b$の組をすべて求めよ．

【２】　$f(x)=x^4+2x^3-2x^2$として，以下の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$の増減と極値を調べ，グラフをかけ．

(2)　曲線$y=f(x)$に$2$点で接する直線の方程式を$y=g(x)=ax+b$とする．その接点の$x$座標を$x_1\text{，}$$x_2$（ただし$x_1<x_2\text{）}$とするとき，$4$次方程式$f(x)-g(x)=0$が${(x-x_1)}^2{(x-x_2)}^2=0$と表せることを使ってこの直線の方程式を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と(2)で求めた直線$y=g(x)$とで囲まれる部分の面積を$S$とする．$S$の値を求めよ．必要に応じて

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}{(x-\alpha )}^2{(x-\beta )}^2\mathit{dx}={\displaystyle \frac{1}{30}}{(\beta -\alpha )}^5$

を使ってよい．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　循環小数$20.0\stackrel{\cdot }{8}$を分数で表せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　関数$y=2^{3-x}+2^{1+x}$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$(x^2+xy+y^2)(x^2+y^2){(x-y)}^2(x+y)$を展開せよ．

【２】　$xy$平面上の$2$点$(2,3)\text{，}$$(2,-3)$が，行列$A$で表される移動によりそれぞれ点$(1,4)\text{，}$$(1,-2)$に移り，行列$B$で表される移動によりそれぞれ点$(-2,8)\text{，}$$(-2,-4)$に移る．このとき，次の問いに答えよ．ただし，以下で用いる$n$は自然数とする．

(1)　行列$A$と$B$を求めよ．

(2)　$AB=BC$のとき，$C=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$を示せ．

(3)　$A^n=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2^n}}& 0\\ 1-{\displaystyle \frac{1}{2^n}}& 1\end{array}\right)$を示せ．

(4)　行列$A^n$で表される移動により，点$(2,1)$が点$(x_n,y_n)$に移るとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$を求めよ．

【３】　各項が正である数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が

$S_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(a_n+{\displaystyle \frac{2n}{a_n}})$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S_1=\sqrt{2}\text{，}$$S_n^2-S_{n-1}^2=2n$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(2)　$S_n=\sqrt{n(n+1)}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を示せ．

(3)　$a_n=\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1})$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を示し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$が

$a_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^{n}x\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義されるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2$を求めよ．

(2)　部分積分法を用いて，$a_{n+2}={\displaystyle \frac{n+1}{n+2}}{a}_n$を示せ．

(3)　$b_n=(n+1)a_{n+1}{a}_n$とおくとき，$b_n={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を示せ．

(4)　$\sqrt{{\displaystyle \frac{n\pi }{2(n+1)}}}<\sqrt{n}{a}_n<\sqrt{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$を示し，$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}{a}_n$を求めよ．

【２】　$r$を正の実数とする．座標平面上に$2$点

$\mathrm{P}(-2r-1,2\sqrt{3}r)\text{，}$$\mathrm{Q}(r+1,\sqrt{3}r)$

をとり，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を中心とする半径$2r\text{，}$$r$の円をそれぞれ$C\text{，}$$D$とする．このとき次の問に答えよ．

(1)　原点$\mathrm{O}$を中心として$\mathrm{Q}$を反時計回りに$60\mathrm{°}$回転した点${\mathrm{Q}}^{\prime }$の座標を$r$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{P}{\mathrm{Q}}^{\prime }$の長さを$r$を用いて表せ．

(3)　原点$\mathrm{O}$を中心として$D$を反時計回りに$60\mathrm{°}$回転した円を$D^{\prime }$とする．$C$と$D^{\prime }$が相異なる$2$点で交わるように$r$の値の範囲を定めよ．

(4)　$C$上を動く点${\mathrm{P}}_1$と，$D$上を動く点${\mathrm{Q}}_1$を考える．三角形$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1$が正三角形となるような${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{Q}}_1$の組がただ一組存在するように$r$の値を定めよ．さらに，そのときの正三角形を定める${\mathrm{P}}_1$の座標を求めよ．

【３】　図のように，東西方向に走る$4$本の道と，南北方向に走る$5$本の道をもつ地区がある．

(1)　赤玉が$4$個，白玉が$4$個入った袋をもって$\mathrm{A}$地点に立ち，その後，下記の手順$\text{[}{a}_1\text{]，}$$\text{[}{a}_2\text{]，}$$\text{[}{a}_3\text{]}$にしたがって行動するものとする．

$\text{[}{a}_1\text{]}$　袋から無作為に玉を$1$個取り出す．取り出した玉は袋に戻さない．

$\text{[}{a}_2\text{]}$　取り出した玉の色が赤ならば現在地より一区画東の地点に移動し，白ならば一区画北の地点に移動する．ただし，この地区の外に出ることは禁じられている．取り出した玉の色の指示にしたがう移動ができない場合は，移動せず，もう$1$回袋から無作為に玉を$1$個取り出し，$\text{[}{a}_2\text{]}$の冒頭に戻る．なお，このときも，取り出した玉は袋に戻さない．

$\text{[}{a}_3\text{]}$　移動後の地点で再び$\text{[}{a}_1\text{]}$から始まる手順にしたがう行動を開始する．

$\mathrm{B}$地点に到着するまでこれを繰り返す．

　このとき次の(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)に答えよ．

(ⅰ)　$\mathrm{C}$地点を経由して$\mathrm{B}$地点に到着する確率$P_1$を求めよ．

(ⅱ)　$\mathrm{E}$地点と$\mathrm{F}$地点を経由し，しかも，玉を取り出す回数が$8$回で$\mathrm{B}$地点に到着する確率$P_2$を求めよ．

(ⅲ)　$\mathrm{D}$地点を経由せず，しかも，玉を取り出す回数が$7$回で$\mathrm{B}$地点に到着する確率$P_3$を求めよ．

(2)　$\mathrm{D}$地点に赤玉と白玉が同じ個数入っている箱を設置し，次の規則$\text{[}b\text{]}$を考える．

$\text{[}b\text{]}$　移動の過程で$\mathrm{D}$地点に到着した場合は，到着の直後に，その箱の中から無作為に玉を$1$個取り出し，上述の袋に入れる．

　赤玉が$4$個，白玉が$4$個入った袋をもって$\mathrm{A}$地点に立ち，その後，$\text{[}{a}_1\text{]，}$$\text{[}{a}_2\text{]，}$$\text{[}{a}_3\text{]，}$および$\text{[}b\text{]}$にしたがって行動するものとする．

　このとき次の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　袋から玉を取り出す回数が$9$回で$\mathrm{B}$地点に到着する確率$P_4$を求めよ．

(ⅱ)　袋から玉を取り出す回数が$7$回で$\mathrm{B}$地点に到着する確率$P_5$を求めよ．

【４】　$f(\theta )=(1+\cos \theta )(\cos \theta +\sqrt{3}\sin \theta )+4$とおく．極方程式

$r=f(\theta )$$\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$

で表される曲線を$C$とする．このとき次の問に答えよ．

(1)　原点を中心として$x$軸を$\theta$だけ回転した直線が$C$によって切り取られてできる線分を$L$とする．$L$の長さ$l$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　長さ$l$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

(3)　$L$の中点$\mathrm{M}$が描く曲線の極方程式を

$r=g(\theta )$$\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$

とする．$g(\theta )$を求めよ．

(4)　$\mathrm{M}$が描く曲線の方程式を直交座標$(x,y)$を用いて表せ．

(5)　$\theta$が${\displaystyle \frac{7}{6}}\pi \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，$\mathrm{M}$が描く曲線を図示せよ．

【１】　次の問に答えよ．

(1)　次の式を簡単にせよ．

${\log }_{10}175+2{\log }_{10}{\displaystyle \frac{5}{7}}$$-{\displaystyle \frac{2}{3}}{\log }_{10}{\displaystyle \frac{125}{8}}-{\log }_{10}{\displaystyle \frac{1}{7}}$

【１】　次の問に答えよ．

(2)　方程式

$3^{x+2}-2\cdot 3^{-x}+17=0$

を解け．

【１】　次の問に答えよ．

(3)　$a$は$0<a<1$を満たす定数とする．このとき，不等式

$2{\log }_{a}x+9{\log }_{x}a\geqq 9$$\text{（}x>0\text{，}$$x\ne 1\text{）}$

を解け．

【３】　$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2\text{，}$$C_2\text{：}y=-x^2+2x$を考える．$C_1$上の点$\mathrm{P}$$(a,a^2)$における接線を$l$とする．このとき次の問に答えよ．

(1)　$l$と$C_2$で囲まれた図形を$F$とする．放物線$C_1\text{，}$$C_2$および接線$l$をかき，$F$を図示せよ．

(2)　$l$の方程式を求めよ．

(3)　$l$と$C_2$の$2$つの交点の座標を$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．$\alpha \text{，}$$\beta$を$a$を用いて表せ．

(4)　$F$の面積$S$を$a$を用いて表せ．

(5)　点$\mathrm{P}$が$C_1$上を動くとき，$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．