2008　茨城大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)　関数$f(x)=x\log x$は，$x>1$で増加することを示せ．

(2)　関数$g(x)={\displaystyle \frac{\log (x+2)}{\log x}}$は，$x>1$で減少することを示せ．

(3)　${\log }_{11}13$と${\log }_{13}15$の大小を比較せよ．

【２】　$x_0=2\text{，}$$y_0=0$とし，数列$\{x_n\}\text{，}$$\{y_n\}$$\text{（}n\geqq 1\text{）}$を次の式により定める．

$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_{n-1}\\ y_{n-1}\end{array}\right)+{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n{A}^n\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)$

ただし，

$A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

である．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$E$を$2$次の単位行列とする．整数$k\geqq 1$に対して，$A^{2k}={(-1)}^{k}E\text{，}$$A^{2k+1}={(-1)}^{k}A$を示せ．

(2)　整数$k\geqq 0$に対して，$x_{2k+1}=x_{2k}$を示せ．

(3)　整数$k\geqq 1$に対して，$x_{2k+1}$を$x_{2k-1}$で表せ．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$求めよ．

【３】　正の実数$a$に対して，

$f(a)={\displaystyle {\int }_0^x}{({\displaystyle \frac{x}{a}}+a\sin x)}^2\mathit{dx}$

とする．次の各問に答えよ．

(1)　$f(a)$を求めよ．

(2)　$a$の関数$f(a)$の最小値を求めよ．

【４】　次の条件を満たす自然数の組$(a,b,c)$を考える．

$1\leqq a\leqq 9\text{，}$$1\leqq b\leqq 9\text{，}$$1\leqq c\leqq 9\text{，}$$b^2-4ac<0$

　このような組$(a,b,c)$に対して$2$次方程式

$a{x}^2+bx+c=0$

の解の虚部の絶対値を$I(a,b,c)$とおく．ただし，複素数$\alpha +\beta i$$\text{（}\alpha \text{，}$$\beta$は実数，$i$は虚数単位）の虚部とは，実数$\beta$のことである．次の各問に答えよ．

(1)　$I(a,b,c)$と$I(a,1,9)$の大小を比較せよ．

(2)　$I(a,b,c)$が最大となる組$(a,b,c)$を求めよ．

(3)　$I(a,b,c)$が整数になる組$(a,b,c)$のうちで，$I(a,b,c)$が最大となるものをすべて求めよ．

【１】　$\mathrm{OA}=1$である鋭角三角形$\mathrm{OAB}$において，頂点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{OA}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{M}\text{，}$頂点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{N}\text{，}$線分$\mathrm{BM}$と線分$\mathrm{ON}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{BH}=\mathrm{MH}$が成り立つとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=k\overrightarrow{a}$$\text{（}0<k<1\text{），}$$\overrightarrow{\mathrm{MH}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$をそれぞれ$k\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OH}}$となる実数$\alpha$を$k$を用いて表せ．

(3)　$\left|\overrightarrow{c}\right|$を$k$を用いて表せ．

(4)　$\mathrm{\angle OAB}=60\mathrm{°}$であるとき，$k$および${\displaystyle \frac{\mathrm{HN}}{\mathrm{OH}}}$の値を求めよ．

【２】　座標平面において，点$\mathrm{P}$が行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& a+1\\ -1& -1\end{array}\right)$の表す移動によって移される点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が直線$l\text{：}y=mx+1$上の点であれば，点$\mathrm{Q}$も常に$l$上にあるとするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$a$と$m$の値を求めよ．

(2)　直線$l$上の任意の点$\mathrm{P}$に対し$\mathrm{▵OPQ}$の面積は常に一定であることを示し，その値を求めよ．ここで，$\mathrm{O}$は原点を表す．

【３】　座標平面において，原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}$$(4,0)$とする．点$(p,1)$を中心とする半径$1$の円を$C_p$とするとき，$C_p$が$\mathrm{OA}$を$1$辺とする三角形の内接円となり得るような$p$の値の範囲を求めよ．

【４】　$x$の関数$y$が${\log }_{2}y={\log }_2(7-x)-{\log }_4(5-x)$によって与えられるとき，次の各問に答えよ．

(1)　$x=1$における$y$の値を求めよ．

(2)　$y$の最小値を求めよ．

(3)　この関数のグラフと直線$y=3$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

【１】　次の連立不等式の表す領域を$D$とする．

$0\leqq x\leqq 2\text{，}$$0\leqq y\leqq 2\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq \sin (xy)$

　次の各問に答えよ．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$\sin (x+y)$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　曲線$C\text{：}y=\left|x\right|(|x|-1)$を考える．次の各問に答えよ．

(1)　曲線$C$を図示せよ．

(2)　点$\mathrm{A}$$(-1,0)$を通り，正の傾き$k$をもつ直線を$l$とする．直線$l$と曲線$C$の囲む図形を$y$軸で$2$つの図形に分けると，$y$軸の左側の部分の図形の面積が${\displaystyle \frac{1}{2}}$となった．$k$の値を求め，さらに$y$軸の右側の部分の図形の面積を求めよ．

【３】　座標平面において，原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}$$(4,0)$とする．点$\mathrm{B}$を$x$軸上にない点とし，$\mathrm{▵OAB}$の内接円の中心を点$(p,1)$とする．次の各問に答えよ．

(1)　直線$\mathrm{OB}$が$y$軸と平行でないとき，直線$\mathrm{OB}$の傾き$k_1$を$p$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{AB}$が$y$軸と平行でないとき，直線$\mathrm{AB}$の傾き$k_2$を$p$を用いて表せ．

(3)　実数$p$のとりうる値の範囲を求めよ．

【４】　$n$を自然数とする．$\sqrt{2}n$の整数部分を$a$とし，小数部分を$b$とする．次の各問に答えよ．

(1)　$1.41<\sqrt{2}<1.42$となることを示せ．

(2)　$a\geqq 100$となる$n$の範囲を求めよ．

(3)　$n\leqq 35$ならば$b>0.01$となることを示せ．