2008　茨城大学　後期MathJax

$b_1=c_1=a\text{，}$$b_2=c_2\text{，}$$b_3\ne c_3\text{，}$$b_4=c_4$

を満たすものとする．次の各問に答えよ．

(1)　第$n$項$b_n\text{，}$$c_n$を$a$と$n$を用いて表せ．

(2)　次の等式を示せ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{k}{2^k}}=2-{\displaystyle \frac{2+n}{2^n}}$

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{n}{2^n}}=0$を示せ．ただし，必要なら$n\geqq 4$のとき$2^n\geqq n^2$であることを証明なしで用いてよい．

(4)　無限級数

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{b_k}{\left|c_k\right|}}={\displaystyle \frac{b_1}{\left|c_1\right|}}+{\displaystyle \frac{b_2}{\left|c_2\right|}}+{\displaystyle \frac{b_3}{\left|c_3\right|}}+\cdots$

の和を求めよ．

$s>0\text{，}$$t<0\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|=2b$

によって定める．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$s$および$t$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$のえがく図形を調べ，これを図示せよ．

(3)　点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l$とし，点$\mathrm{Q}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$に平行な直線を$m$とする．$2$つの直線$l\text{，}$$m$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を用いて表せ．

(4)　$s=2$のとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{R}$は(3)で定めた点である．

$y=f(x)=x+{\displaystyle \frac{3}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$

の表す曲線を$C$とする．点$\mathrm{P}$$(t,t\mathrm{+}{\displaystyle \frac{3}{t}})$$\text{（}t>0\text{）}$における曲線$C$の接線を$l$とする．$l$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，$l$と直線$x=3$との交点を$\mathrm{R}$とする．また$\mathrm{O}$を原点，$\mathrm{A}$を点$(3,0)$とする．次の各問に答えよ．

(1)　曲線$C$の概形をかけ．

(2)　点$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(3)　点$\mathrm{R}$が点$\mathrm{A}$に一致するときの$t$の値を求めよ．

(4)　線分$\mathrm{OQ}$と線分$\mathrm{AR}$の長さの和を$g(t)$とするとき，関数$g(t)$$\text{（}t>0\text{）}$の増減表をかけ．

(5)　前問の関数$g(t)$について，定積分

${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{e}}^e}g(t)\mathit{dt}$

を求めよ．ここで，$e$は自然対数の底である．

《補足》　(4)の増減表については凹凸は調べなくてよい．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　直線$l$と$x$軸との交点を通り，$y$軸に平行な直線を$m$とする．直線$m$と曲線$C$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，直線$\mathrm{OP}$と曲線$C$で囲む部分の面積$S_n$を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

(3)　前問で定めた$S_n$について，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．ただし，必要なら$\underset{t\to 0}{\lim }{(1+t)}^{\frac{1}{t}}=e$$\text{（}e$は自然対数の底）となることを証明なしで用いてよい．

(1)　$a\text{，}$$b$を$r$を用いて表せ．

(2)　曲線$C_1$と$2$直線$x=-1\text{，}$$y=b$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_1$とする．$V_1$を$r$を用いて表せ．

(3)　次の連立不等式

$x\geqq -1\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$y\leqq \sqrt{x+1}\text{，}$$x^2+4y^2\leqq r^2$

で表される領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_2$とする．$V_2$を$r$を用いて表せ．

(4)　$V_2=2V_1$となるように$r$の値を定めよ．ただし，$V_1\text{，}$$V_2$は(2)，(3)で求めたものである．

$a_1=0\text{，}$$a_{n+1}=\sqrt{2a_n+4}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$0.1\stackrel{\cdot }{2}\stackrel{\cdot }{3}\times 3.\stackrel{\cdot }{6}$

${\displaystyle \int }{\sin }^{n}x\mathit{dx}=+{\displaystyle \frac{n-1}{n}}{\displaystyle \int }{\sin }^{n-2}x\mathit{dx}$

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2\leqq 1\\ 0\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{x}{2\sqrt{3}}}\end{array}$

$f(x)=m{x}^2+nx+1$

$g(x)=n{x}^2+x+m$

を考える．$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$のグラフが異なる交点をちょうど$2$つもつ確率を求めよ．

$b_1=c_1=a\text{，}$$b_2=c_2\text{，}$$b_3\ne c_3\text{，}$$b_4=c_4$

を満たすものとする．次の各問に答えよ．

(1)　数列$\{b_n\}$と$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　次の等式を証明せよ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{k}{2^k}}=2-{\displaystyle \frac{2+n}{2^n}}$

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{b_k}{\left|c_k\right|}}$を求めよ．

$f^{\prime }(2+\sqrt{{\displaystyle \frac{7}{3}}})=f^{\prime }(2-\sqrt{{\displaystyle \frac{7}{3}}})=0$

を満たすとする．次の各問に答えよ．

(1)　実数$a\text{，}$$b$を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの整数を解にもつとする．実数$c$を求めよ．

(1)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}$と直線$\mathrm{BC}$の距離を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．