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2008-10161-0301
2008 茨城大学 推薦理(理学科)学部小論文
数学・情報数理,物理学コース
易□ 並□ 難□
【1】 次の各小問に答えよ.
(1) 角 x 度をラジアンを用いて表せ.さらに,角 x 度の余弦 ( cos ) を f ⁡(x ) で表すとき導関数 f ′⁡( x) を求めよ.
2008-10161-0302
(2) 自然数 n に対して定積分
an= ∫ 1e x2⁢n ⁢log⁡ x⁢dx
を求めよ.さらに, limn→ ∞ an+1 an を求めよ.
2008-10161-0303
【1】次の各小問に答えよ.
(3) 曲線 y =|x 3-12 ⁢x| ( x≧0 ) と直線 y =16 の囲む部分の面積を求めよ.
2008-10161-0304
物理との選択
【2】 関数 y =f⁡( x)= e x2 x⁢( x-3 ) とそのグラフ C について,次の各問に答えよ.
(1) 関数 f ⁡(x ) の増減と極値を調べよ.
(2) C の漸近線も調べ, C の概形をかけ.ただし,必要なら limx→ ∞f ⁡(x )=∞ となることを証明なしで用いてよい.
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【3】 行列 A =( 10 2 1 ), B=( 12 0 1 ) に対して,逆行列をもつ行列 C n ( n≧1 ) が以下のように定義できる:
C1 =A⁢B A-1 ⁢B -1 , Cn+ 1= Cn⁢ B⁢C n-1 ⁢B -1 ( n≧1 )
行列 C n について,次の各問に答えよ.
(1) C1 , C2 を求めよ.
(2) Cn= ( an bn ⁢2 c n⁢ 2 dn ) とおく. an⁢ dn- 2⁢bn ⁢cn =1 のとき, an+ 1 , bn+ 1 , cn+ 1 , dn+ 1 のそれぞれを an , cn を用いて表せ.
(3) (1),(2)の結果と数学的帰納法を用いて,すべての n で
an⁢ dn- 2⁢bn ⁢cn =1
が成り立つことを証明せよ.