2008　千葉大学　前期MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$において$\mathrm{BC}=2\text{，}\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}=60°$とする．

(1)　このような三角形の面積の最大値を求めよ．そのときの$2$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

(2)　(1)で得た三角形の内接円の半径を求めよ．

【２】　$m$を実数とする．関数$y=|x|(x-4)-x-m$のグラフが$x$軸と相異なる$3$点で交わるような$m$の値の範囲を求めよ．

【３】　正三角形$\mathrm{ABC}$は，$1$辺の長さが$1$である正六角形の辺上に$3$頂点をもつとする．

(1)　このような正三角形$\mathrm{ABC}$の$1$辺の長さ$\mathrm{AB}$の最大値と最小値を求めよ．

(2)　頂点$\mathrm{A}$が正六角形の$1$辺を$1:2$に内分しているとき${\mathrm{AB}}^2$を求めよ．

【４】　$n$を自然数とする．$1$個のさいころを続けて$2$回投げ，$1$回目に出た目の数を$x\text{，}2$回目に出た目の数を$y$とする．$|x-n|+|y-n|\leqq n$となる確率を$P_n$で表すとき，次の問いに答えよ．

(1)　$P_1$を求めよ．

(2)　$P_n$が最大となる$n$を求め，そのときの$P_n$を求めよ．

(3)　$P_n={\displaystyle \frac{1}{36}}$となる$n$を求めよ．

【５】　以下の問いに答えよ．

(1)　$x$を有理数とする．$7x^2$が整数ならば，$x$は整数であることを示せ．

(2)　$a\text{，}b$を整数とする．$a^2-7b^2$が$4$の倍数ならば，$a$と$b$はともに偶数であることを示せ．

(3)　$r$は整数，$s$は有理数とする．${{\displaystyle \left(\frac{r}{2}\right)}}^2-7s^2$が整数ならば，$s$は整数であることを示せ．

【６】　$2$次関数$f(x)$は

$xf(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+(x^2+x){\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt+{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$

を満たすとする．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　関数$xf(x)$の$x\geqq 0$における最小値を求めよ．

【７】　平面上の$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{AE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{O}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{q}$とするとき，ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{q}$で表せ．

(2)　点$\mathrm{O}$が$▵\mathrm{ABC}$の外接円の中心になるとき，$3$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$の長さの$2$乗の比を求めよ．

【８】　$1$から$n$までの番号が書かれた$n$枚のカードがある．この$n$枚のカードの中から$1$枚を取り出し，その番号を記録してからもとに戻す．この操作を$3$回繰り返す．記録した$3$個の番号が$3$つとも異なる場合には大きい方から$2$番目の値を$X$とする．$2$つが一致し，$1$つがこれと異なる場合には，$2$つの同じ値を$X$とし，$3$つとも同じならその値を$X$とする．

(1)　確率$P(X\leqq k)\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$）を求めよ．

(2)　確率$P(X=k)\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$）を求めよ．

(3)　$P(X=k)$が最大となる$k$の値はいくつか．

【９】　関数$y=\log |x|$のグラフ$G$上に動点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，それぞれの$x$座標を$a\text{，}b$とする．$\mathrm{A}$における接線と$\mathrm{B}$における接線が直交し，$a>0$であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$ab$を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の中点の存在範囲を求めよ．

(3)　直線$\mathrm{AB}$が点$(1,0)$を通り，$a\ne 1$を満たすとき，直線$\mathrm{AB}$と$G$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【10】　行列

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)}\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \mathrm{-1}\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

について以下の問いに答えよ．

(1)　$A^m=E$となる最小の自然数$m$と，$B^n=E$となる最小の自然数$n$を求めよ．

(2)　$m$は(1)で求めた値とし，$k$は$1\leqq k\leqq m$を満たす自然数とする．単位円周上の点$\mathrm{P}$に対し，行列$B\text{，}{A}^2\text{，}{A}^k$で表される移動による$\mathrm{P}$の行き先を，それぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$とする．$▵\mathrm{QRS}$が正三角形となるような$k\text{，}\mathrm{P}$の組をすべて求めよ．

【11】　実数$a\text{，}b$は$0<a<b$を満たし，$x\text{，}y\text{，}z$はいずれも$a$以上かつ$b$以下であるとする．このとき次を示せ．

(1)　$x+y=a+b$ならば，$xy\geqq ab$である．

(2)　$x+y+z=a+2b$ならば，$xyz\geqq a{b}^2$である．

【12】　$c\geqq 0$に対して，連立不等式

$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\text{，}0\leqq y\leqq |\sin x-c|$

で表される座標平面上の図形を$A$とする．

(1)　$A$の面積$S$を最小にするような$c$の値と，そのときの$S$を求めよ．

(2)　$A$を$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積を$V$とする．$V$を最小にするような$c$の値と，そのときの$V$を求めよ．

志望別問題選択一覧

教育学部

　算数科選修　【１】，【２】，【３】，【４】

　理科教育分野，技術科教育分野　【２】，【３】，【４】，【５】

　情報教育分野　【２】，【３】，【６】，【７】

　数学科教育分野　【２】，【３】，【５】，【６】，【７】，【８】

文学部　行動科学科　【４】，【５】，【６】，【７】

法経学部　【４】，【５】，【６】，【７】

園芸学部　【２】，【３】，【６】，【７】

理学部

　生物学科，地球科学科　【３】，【４】，【６】，【７】，【９】

　物理学科，化学科　【５】，【７】，【８】，【９】，【10】

　数学・情報数理学科　【５】，【７】，【８】，【９】，【10】，【12】

薬学部　【５】，【７】，【８】，【９】，【10】

工学部

　建築学科，都市環境システム学科，デザイン学科

　　【３】，【４】，【６】，【７】，【９】

　機械工学科，メディカルシステム工学科，電気電子工学科，

　ナノサイエンス学科，共生応用化学科，画像科学科，情報画像学科

　　【５】，【７】，【８】，【９】，【10】

先進科学プログラム　【５】，【７】，【８】，【９】，【10】

医学部　【５】，【８】，【10】，【11】，【12】