2008　電気通信大学　昼間，夜間・前期MathJax

【１】　関数$f(c)=\sin 4x-\sin 2x$に対して，曲線$C:y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において$f(x)>0$となる$x$の値の範囲を求めよ．

(ⅱ)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において導関数$f^{\prime }(x)$を最大にする$x$の値$x_0$を求めよ．さらに，曲線$C$上の点$\mathrm{A}(x_0,f(x_0))$における$C$の接線$l$の方程式を求めよ．

(ⅲ)　接線$l$の方程式を$y=g(x)$とする．$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において$f(x)$と$g(x)$の大小関係を調べよ．

(ⅳ)　曲線$C$と接線$l$と$y$軸で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

(ⅴ)　曲線$C$を$x$軸方向に${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$だけ平行移動した曲線を$C_1$とする．このとき，$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において$2$曲線$C\text{，}{C}_1$で囲まれる図形の面積$T$を求めよ．

【２】　関数$f(x)=x{e}^{-x}$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　極限$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)\text{，}\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$を求めよ．ただし，$x>0$のとき$e^x>1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$であることは既知としてよい．

(ⅱ)　$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の最大値を求めよ．

(ⅲ)　$x$の方程式$f(x)=a$が異なる実数解$u\text{，}v\text{（}u<v\text{）}$を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．さらにこのとき，$u$がとりうる値の範囲を求めよ．

(ⅳ)　$a$が(ⅲ)で求めた範囲にあるとき，$S={\displaystyle {\int }_0^1}|f(x)-a|dx$を$u$だけを用いて表せ．

(ⅴ)　$a$が(ⅲ)で求めた範囲を動くとき，$S$を最小にする$a$の値を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{|x-2|}{x+1}}$に対して，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(0)\text{，}f(1)\text{，}f(2)\text{，}f(3)$の値を求めよ．さらに，極限値$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$t\geqq 0$のとき，区間$t\leqq x\leqq t+1$における関数$f(x)$の最小値を$m(t)$とおく．$m(t)$を求めよ．

(ⅲ)　$f(a)=f(a+1)$を満たす$a$の値を求めよ．

(ⅳ)　$t\geqq 0$のとき，区間$t\leqq x\leqq t+1$における関数$f(x)$の最大値を$M(t)$とおく．$M(t)$を求めよ．

(ⅴ)　$c\geqq 2$のとき，$F(c)={\displaystyle {\int }_2^c}\{M(t)-m(t)\}dt$を求めよ．さらに，極限値$\underset{c\to \infty }{\lim }F(c)$を求めよ．

【４】　$xyz$座標空間内において，点$\mathrm{P}$を中心とし半径が$\sqrt{6}$の球面$S$を考える．ある平面$\alpha$と球面$S$が交わってできる円$D$上に$3$点$\mathrm{A}(3,2,1)\text{，}\mathrm{B}(0,3,1)\text{，}\mathrm{C}(-1,2,-1)$がある．以下の問いに答えよ．

ただし，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とする．

(ⅰ)　内積$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．

(ⅱ)　円$D$の中心を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$は平面$\alpha$上にあるので，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$はある実数$s\text{，}t$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$

と表される．線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{MQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{NQ}}$を$s\text{，}t\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(ⅲ)　$s\text{，}t$の値を求めよ．

(ⅳ)　円$D$の半径$r$と中心$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(ⅴ)　平面$\alpha$と垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{n}$を成分で表せ．

(ⅳ)　球面$S$の中心$\mathrm{P}$の座標を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}$の座標は負でないとする．

【３】　以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は自然対数とし，$e$はその底とする．

(ⅰ)　　$3^{\log 2}=2^x$を満たす$x$の値を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は自然対数とし，$e$はその底とする．

(ⅱ)　$e^x-e^{-x}=3$を満たす$x$の値を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は自然対数とし，$e$はその底とする．

(ⅲ)　$f(x)=e^{u(x)}\text{，}u(x)=2^x$のとき，$f^{\prime }(1)$の値を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(ⅳ)　実数$x\text{，}y\text{，}z\text{，}w$が，

$2^x=3^y=5^y=A^w\text{，}{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}={\displaystyle \frac{1}{w}}$

を満たすとき，正の定数$A$の値を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は自然対数とし，$e$はその底とする．

(ⅴ)　極限値

$S=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\log \left\{\right(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})(1+{\displaystyle \frac{2}{n}})\cdots (1+{\displaystyle \frac{n-1}{n}})(1+{\displaystyle \frac{n}{n}}\left)\right\}$

を求めよ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{\sin x}}+{\displaystyle \frac{1}{\cos x}}$に対して，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　極限$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)\text{，}\underset{x\to \frac{\pi }{2}-0}{\lim }f(x)\text{，}\underset{x\to \frac{\pi }{2}+0}{\lim }f(x)\text{，}\underset{x\to \pi -0}{\lim }f(x)$を求めよ．

(ⅱ)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅲ)　$0<x<\pi$における$f(x)$の極値を求めよ．ただし，$x\ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(ⅳ)　$m$を定数とする．$0<x<\pi$のとき，$x$についての方程式

$\sin x+3\sqrt{3}\cos x-m\sin x\cos x=0$

の異なる実数解の個数を求めよ．