2008　一橋大学　後期MathJax

【１】　$f(x)=x(4-x)$とする．$0\leqq a_1\leqq 4$に対して，$a_2=f(a_1)\text{，}{a}_3=f(a_2)$と定める．

(1)　$a_1\ne a_2\text{，}{a}_1=a_3$となるときの$a_1$の値をすべて求めよ．

(2)　$0\leqq a_3\leqq {\displaystyle \frac{20}{9}}$となるような$a_1$の値の範囲を求めよ．

【２】　実数$x$に対して，$n\leqq x<n+1$をみたす整数$n$を$[x]$と表す．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{2}}([x]-[y])$が整数となる点$(x,y)$の全体からなる領域を，$xy$平面上に図示せよ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{2}\left(\right[\frac{x}{2}]+[\frac{y}{3}\left]\right)}$が整数となる点$(x,y)$の全体からなる領域を，$xy$平面上に図示せよ．

【３】　$a$を$0$でない実数とする．関数$f(x)=2x^3-9a{x}^2+12a^{2}x$は$x=p$で極大値をとるとする．

(1)　$a$が動くとき，点$(p,f(p))$の全体からなる領域を$xy$平面上に図示せよ．

(2)　$a$が動き，$r$が$r\geqq p$という条件の下で動くとき，点$(r,f(r))$の全体からなる領域を$xy$平面上に図示せよ．

【４】　$a$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=a{x}^2\text{，}y=-2x^2$をそれぞれ$C_1\text{，}{C}_2$とする．負の実数$t$に対して，点$\mathrm{P}(0,t)$を通る傾きが正の直線$l$が，$C_1$と点$\mathrm{Q}$で接している．$l$と$C_2$の$2$つの共有点のうち，$x$座標が正のものを$\mathrm{R}$とする．

(1)　$\mathrm{Q}$および$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{QR}$が$\angle \mathrm{POQ}$を$2$等分するときの$t$の値を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．

【５】　赤い箱が$2$個と青い箱が$3$個ある．$n$枚のカードを$1$枚ずつ無作為にこれら$5$個の箱のどれかに入れていく．カードが少なくとも$1$枚入っている赤い箱の個数を$X$とし，カードが少なくとも$1$枚入っている青い箱の個数を$Y$とする．

(1)　$X>0$かつ$Y>0$となる確率を求めよ．

(2)　$X>Y$となる確率を求めよ．