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2008-10621-0101
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2008 奈良教育大学 前期
教科-数学
易□ 並□ 難□
【1】 x≧0 のとき,次の不等式が成り立つことを示せ.
(1) sin⁡x≦ x
(2) 1- 12 ⁢x2 ≦cos⁡x
(3) x− 16⁢ x3≦ sin⁡x
2008-10621-0102
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【2】 次の定積分を求めよ.
(1) ∫ 01 1 1+x2 ⁢ dx
(2) ∫ 01 1 (1+ x2) 2 ⁢dx
(3) ∫ 01 x1+x 2 ⁢dx
(4) ∫ 01 x2 1+x2 ⁢ dx
2008-10621-0103
【3】 図のように直角三角形 ABC に正方形 A1 B1 B C1 を内接させる.次に,直角三角形 A1 C1 C に正方形 A2 B2 C1 C 2 を内接させる.このように順に正方形を作っていくとき,次の問いに答えよ.ただし AB =2 , BC=3 , ∠B=90⁢ ° とする.
(1) 正方形 A1 B1 B C1 の一辺の長さを求めよ.
(2) 正方形 A1 B1 B C1 , A2 B2 C1 C2 , ⋯ の周の長さの総和を求めよ.
(3) 正方形 A1 B1 BC 1 , A2 B2 C1 C2 , ⋯ の面積の総和を求めよ.
2008-10621-0104
【4】 次の問いに答えよ.
(1) x>0 のとき,平均値の定理を用いて,
ex- 1=x⁢ ec , 0<c< x
を満たす c が存在することを示せ.
(2) limx→ +0 e x−1 x=1 を示せ.