2008　熊本大学　前期MathJax

【１】　$a$を実数とする．$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=a\cos \theta -2{\sin }^2\theta$の最大値，最小値をそれぞれ$M(a)\text{，}$$m(a)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$M(a)$と$m(a)$を求めよ．

(2)　$a$が実数全体を動くとき，$M(a)$の最小値と$m(a)$の最大値を求めよ．

【２】　$n$を$3$以上の自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$2\leqq k\leqq n$を満たす自然数$k$について，$k(k-1){}_{n}C_k=n(n-1){}_{n-2}C_{k-2}$を示せ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k(k-1){}_{n}C_k$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^2{}_{n}C_k$を求めよ．

【３】　放物線$y=4x^2+3$を$C$とする．$x$軸上に点$\mathrm{P}$$(p,0)$$\text{（}p\ne 0$とする），$C$上に点$\mathrm{A}$$(p,4p^2+3)$をとり，点$\mathrm{A}$における$C$の接線$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$$(q,0)$とする．さらに，点$\mathrm{B}$$(q,4q^2+3)$における$C$の接線を$m$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$q$を$p$を用いて表せ．

(2)　接線$m$が点$\mathrm{P}$を通るとする．$p\text{，}$$q$の値を求めよ．

(3)　(2)で求めた$p\text{，}$$q$に対して，放物線$C$と$2$つの接線$l\text{，}$$m$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$が

$a_1=0\text{，}$$a_n={\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2}}+{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{a}_k$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

によって定められている．以下の問いに答えよ．

(1)　$b_n=n+a_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，$b_n=1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{b}_k$$\text{（}n=2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(2)　数列$\{b_n\}$が等比数列であることを示せ．

(3)　$a_n$を求めよ．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．

【３】　直線$y=2x+1$を$l$とする．また，行列$\left(\begin{array}{cc}2& a\\ b& c\end{array}\right)$を$A$とする．直線$l$上の各点は$A$が表す移動によって$l$上の点に移るとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$b$の値を求め，$c$を$a$を用いて表せ．

(2)　$a\ne -{\displaystyle \frac{1}{2}}$ならば，直線$l$上の点$\mathrm{P}$で，$A$が表す移動によって$\mathrm{P}$自身に移るものが存在することを示せ．

(3)　直線$l$上の各点$\mathrm{Q}$は$A$が表す移動によって$\mathrm{Q}$と異なる$l$上の点に移るとする．$a\text{，}$$c$の値を求めよ．

【４】　放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$および点$\mathrm{F}$$(0,1)$について考える．以下の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．

(1)　放物線$C$上の点$\mathrm{A}$$(x,y)$$\text{（}x>0$とする）に対して$\theta =\mathrm{\angle OFA}\text{，}$$r=\mathrm{FA}$とおく．$r$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　放物線$C$上に$n$個の点${\mathrm{A}}_1$$(x_1,y_1)\text{，}$${\mathrm{A}}_2$$(x_2,y_2)\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_n$$(x_n,y_n)$を

$x_k>0$かつ$\angle \mathrm{OF}{\mathrm{A}}_k={\displaystyle \frac{k\pi }{2n}}$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$

を満たすようにとる．極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\mathrm{FA}}_k$を求めよ．