2008　学習院大学　文学部MathJax

【１】　実数$a\text{，}b$に対して，不等式

${\displaystyle \frac{|a+b|}{1+|a+b|}}\leqq {\displaystyle \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}}$

が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つための条件を求めよ．

【２】　大小$2$つのサイコロを同時に投げて，出た目の数をそれぞれ$a\text{，}b$とする．

(1)　$ab-2a-b>0$である確率を求めよ．

(2)　$a+1$が$2a+b$の約数である確率を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$は初項$1\text{，}$公比$5$の等比数列である．

$a_1+a_2+\cdots +a_n\geqq {10}^{100}$

を満たす最小の$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【４】　放物線$C:y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$と直線$l:y=2x+1$の交点を左から順に$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とおく．

　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の間にある放物線$C$の部分の上の点を$\mathrm{M}(t,{\displaystyle \frac{t^2}{2}})$とおく．$\mathrm{M}$を通り$l$に垂直な直線と$l$との交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)　$\mathrm{H}$の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{M}$を動かすとき$\mathrm{MH}$が最大となる$\mathrm{M}$の座標を求めよ．また，このとき，線分$\mathrm{QH}\text{，}\mathrm{MH}$と$C$とで囲まれた部分の面積を求めよ．