2009　茨城大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$に対し，

$b_n={\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}}$$\text{（}n=1\text{．}2\text{．}\cdots \text{）}$

とおくとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\{a_n\}$が等差数列ならば$\{b_n\}$も等差数列であることを示せ．

(2)　$\{b_n\}$が等差数列ならば$\{a_n\}$も等差数列であることを示せ．

(3)　$\{b_n\}$が等差数列で，${\displaystyle \sum _{k=1}^{10}}{b}_{2k-1}=20\text{，}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{10}}{b}_{2k}=10$を満たすとき，$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

【２】　放物線$C_1\text{：}y=4x^2\text{，}$$C_2\text{：}y=x^2+6x$を考える．$C_1$上の点$(a,4a^2)$における接線$l$が，また，$C_2$の接線になるとする．このような$a$は$2$つある．それを$a_1\text{，}$$a_2$$\text{（}{a}_1<a_2\text{）}$とする．次の各問に答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2$を求めよ．

(2)　$a=a_1$のとき，曲線$C_1$の$x\leqq a_1$の部分と，曲線$C_2\text{，}$直線$l$で囲まれた図形の面積を$S_1$とする．また，$a=a_2$のとき，曲線$C_1$の$x\geqq a_2$の部分と，曲線$C_2\text{，}$直線$l$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．このとき，$S_1=S_2$を証明せよ．

【３】　実数$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で$\sin \theta ={\displaystyle \frac{3}{5}}$を満たすとする．次の各問に答えよ．

(1)　$0<x<2\pi$で$\sin x={\displaystyle \frac{24}{25}}\text{，}$$\cos x={\displaystyle \frac{7}{25}}$を満たすような$x$を$\theta$で表せ．

(2)　$0<x<2\pi$で$7\sin x+24\cos x=15$を満たすような$x$を$\theta$で表せ．

【４】　$\mathrm{▵ABC}$を鋭角三角形，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{P}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{p}$とし，$\overrightarrow{p}={\displaystyle \frac{1}{3+\sqrt{3}}}(\overrightarrow{a}+\sqrt{3}\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})$とする．次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$で表せ．また点$\mathrm{P}$は$\mathrm{▵ABC}$の内部にあることを示せ．

(2)　$\mathrm{▵PBC}\text{，}$$\mathrm{▵PAC}\text{，}$$\mathrm{▵PAB}$の面積を$S_{\mathrm{A}}\text{，}$$S_{\mathrm{B}}\text{，}$$S_{\mathrm{C}}$で表すとき，$S_{\mathrm{A}}:S_{\mathrm{C}}=1:2\text{，}$$S_{\mathrm{A}}:S_{\mathrm{B}}=1:3$であることを示せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が$\mathrm{▵ABC}$の外心であるとき，$\mathrm{\angle A}\text{，}$$\mathrm{\angle B}\text{，}$$\mathrm{\angle C}$の大きさを求めよ．

【１】　座標平面上に$4$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{P}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(0,1)\text{，}$$\mathrm{R}$$(-1,0)$がある．$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を$\mathrm{O}$のまわりに角$\theta$だけ回転させた点を，それぞれ${\mathrm{P}}_{\theta }\text{，}$${\mathrm{Q}}_{\theta }$とする．ただし，$\theta$は$0<\theta <\pi$かつ$\theta \ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす．$4$点$\mathrm{P}\text{，}$${\mathrm{P}}_{\theta }\text{，}$${\mathrm{Q}}_{\theta }\text{，}$$\mathrm{R}$を頂点とする四角形の面積を$S(\theta )$とおくとき，以下の各問に答えよ．

(1)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$S(\theta )$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <\pi$のとき，$S(\theta )$を求めよ．

(3)　$S(\theta )$の最大値と，最大値を与える$\theta$の値を求めよ．

【２】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{e-e^x}{e-1}}$

を考える．以下の各問に答えよ．

(1)　関数$f$のグラフについて，座標軸との交点，凹凸，漸近線を調べ，その概形をかけ．

(2)　$x$軸，$y$軸および関数$f$のグラフで囲まれた図形$A$を$x$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積$V$を求めよ．

(3)　部分積分法により

${\displaystyle \int }{(\log x)}^2\mathit{dx}$

を求めよ．${\displaystyle \int }\log x\mathit{dx}=x\log x-x+C$（$C$は積分定数）を用いてよい．

(4)　(2)の図形$A$を$y$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積$W$を求めよ．

【３】　座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$$(x,y)$が

$x=\sin 2t\cos t\text{，}$$y=\sin 2t\sin t\text{，}$$0\leqq t\leqq 2\pi$

で表されるとき，$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．($C$は，右図のようになっている．)また，$\mathrm{P}$が，第$2$象限（$x<0\text{，}$$y>0$）に含まれ，かつ直線$y=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}x$上にあるときの$t$の値を$a$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$が第$2$象限に含まれるような$t$の範囲を求めよ．

(2)　$a$を求めよ．

(3)　$a<t<2\pi$を満たす$t$に対して，${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}}\ne 0$であることを示せ．

(4)　$a<t<2\pi$を満たす$t$に対して，点$\mathrm{P}$における$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，左側からの極限値

$\underset{t\to 2\pi -0}{\lim }{\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}}}$

を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を，$\mathrm{OP}\text{，}$$\mathrm{OQ}$は$2$点間の距離を表す．

【４】　行列$A$を$A=\left(\begin{array}{cc}-1& a\\ 2& 1\end{array}\right)$と定める．ただし，$a$は$a\ne 0$かつ$a\ne -{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす実数とする．行列$A^n$の表す移動によって，座標平面上の点$(0,1)$が移される点を$P_n$とする$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）．}$以下の各問に答えよ．

(1)　$A^2$と$A^3$を求めよ．

(2)　$A^n$を求めよ．

(3)　原点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{▵O}{\mathrm{P}}_{2k-1}{\mathrm{P}}_{2k}$の面積を$S_k$とおく$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）．}$無限級数${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{S}_k$が収束するような$a$の値の範囲を求め，さらに，そのときの無限級数の和を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．

(1)　関数$y=e^{x^2+1}$について，導関数$y^{\prime }$と第$2$次導関数$y^{″}$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

【１】　以下の各問に答えよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}x\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})\mathit{dx}$を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．

(3)　次の和を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．

$(1\cdot 1+2)+(2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+2)+(3\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}+2)+\cdots +(n\cdot {\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}+2)$

【３】　$\mathrm{▵OAB}$があり，$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k\overrightarrow{\mathrm{BA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BR}}=k\overrightarrow{\mathrm{AO}}$

となるように定める．ただし，$k$は$0<k<1$を満たす実数である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，以下の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$k$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{▵OAB}$の重心と$\mathrm{▵PQR}$の重心が一致することを示せ．

(3)　辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{QR}$の交点を$\mathrm{M}$とする．点$\mathrm{M}$は，$k$の値によらずに辺$\mathrm{QR}$を一定の比に内分することを示せ．