2009　茨城大学　後期MathJax

(1)　$0\leqq k\leqq a$となる整数$k$に対し，$D$に含まれる格子点のうち直線$y=k$上にあるものの個数を求めよ．

(2)　$D$に含まれる格子点の個数を求めよ．

(3)　$b$を$a$より大きい整数とする．曲線$y={\log }_{2}x$と$x$軸と直線$x=2^a$と直線$x=2^b$とで囲まれた領域（境界も含める）に含まれる格子点の個数を求めよ．

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|$

を満たすように動く．次の各問に答えよ．

(1)　$s\text{，}$$t$を$p\text{，}$$q$で表せ．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がさらに，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$も満たしながら動くとき，点$\mathrm{A}$の描く図形および点$\mathrm{B}$の描く図形を求めよ．

(3)　(2)のとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|$が最小となる場合，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|$が最大となる場合それぞれについて，$p\text{，}$$q\text{，}$$s\text{，}$$t$を求め，線分$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}$を図示せよ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の内接円の中心$\mathrm{I}$の軌跡は，ある円の一部となることを示せ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の内接円の半径が最大となるのは，$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$となるときであることを証明せよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　$a$がすべての実数を動くとき，定積分${\displaystyle {\int }_a^{a+1}}f(x)\mathit{dx}$が最小となる実数$a$を求めよ．

(1)　$a\text{，}$$b$を求めよ．

(2)　$s\text{，}$$t$を求めよ．

(3)　連立不等式

${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2\leqq 25\text{，}$$ay\leqq bx\text{，}$$sy\geqq tx$

で表される領域$D$を図示し，$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積$V$を求めよ．

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|\text{，}$$p>0\text{，}$$t>0$

を満たすように動くとき，次の各問に答えよ．

(1)　$s\text{，}$$t$を$p\text{，}$$q$で表せ．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がさらに，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$も満たしながら動くとき，点$\mathrm{A}$の描く図形および点$\mathrm{B}$の描く図形を求めよ．

(3)　(2)のとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|$が最小となる場合，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|$が最大となる場合それぞれについて，$p\text{，}$$q\text{，}$$s\text{，}$$t$を求め，線分$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}$を図示せよ．

の$8$通りの模様が可能である．$a\text{，}$$b$がどちらも偶数のとき，以下の各問に答えよ．

(1)　何通りの模様が可能か．

(2)　点対称な模様は何通りあるか．

(3)　線対称な模様は何通りあるか．

(4)　点対称でも線対称でもない模様は何通りあるか．

(1)　$f_3(x)\text{，}$$g_3(x)$を求めよ．

(2)　$f_n(x)\text{，}$$g_n(x)$の具体的な形を推測し，それが正しいことを，数学的帰納法を用いて示せ．

(3)　$h_n(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}}{}_{n}C_{k-1}{f}_{k-1}(x)g_{n-k+1}(x)$を求めよ．

(4)　(3)で与えた$h_n(x)$に対して，極限値$\underset{n\to \mathrm{\infty p}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n!}}{h}_n(3)$を求めよ．

(1)　$l_h$の方程式を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフの凹凸および変曲点について調べよ．

(3)　$y=f(x)$のグラフの$h\leqq x\leqq 2h$の部分と直線$l_h$とで囲まれた図形の面積$S(h)$を求めよ．

(4)　(3)で与えた$S(h)$について，極限値$\underset{h\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{S(h)}{h^2}}$を求めよ．

(1)　$f$を表す行列を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$$(x,y)$の$f$による移動先(像)を${\mathrm{P}}^{\prime }$$(x^{\prime },y^{\prime })$とするとき，線分$\mathrm{P}{\mathrm{P}}^{\prime }$の中点が$f$によってどのような点に移されるか調べよ．

(3) 円$C\text{：}{x}^2+y^2=1$上の点で，その$f$による移動先（像）が$D$に含まれるようなもの全体を$C^{\prime }$とする．$C^{\prime }$がどのような図形になるか調べ，それを図示せよ．

(4)　$D$に含まれる点で，その$f$による移動先(像)が再び$D$に含まれるようなもの全体を$D^{\prime }$とする．$D^{\prime }$を図示し，その面積を求めよ．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=2\cdot ({\displaystyle \frac{1.\stackrel{\cdot }{5}\stackrel{\cdot }{1}}{1.\stackrel{\cdot }{0}\stackrel{\cdot }{1}}}-{\displaystyle \frac{7}{5}})a_n+1$

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．