2009　茨城大学　推薦理(理学科)学部小論文MathJax

(3)　 $x > 0$ に対して，無限級数 $1 + \log x$ $+ {(\log x)}^{2}$ $+ {(\log x)}^{3} + \dots$ を考える．これが収束するような $x$ の範囲を求めよ．また，その範囲における無限級数の和を $f (x)$ で表わすとき，関数 $y = f (x)$ のグラフの概形を描け．

2009-10161-0304

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数学・情報数理，物理学コース

物理との選択

易□　並□　難□

【２】　以下の各問に答えよ．

(1)　実数 $t$ に対して， $x$ の $2$ 次方程式

$x^{2} + t x + 2 t = 0$

が虚数解を持つような $t$ の範囲を $a < t < b$ とするとき， $a ，$ $b$ を求めよ．また，解の虚部の絶対値を $g (t)$ とするとき

$\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} g (t) dt$

を求めよ．

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数学・情報数理，物理学コース

物理との選択

易□　並□　難□

【２】　以下の各問に答えよ．

(2)　平面上の曲線 $C ： x^{2} + y x + 2 y = 0$ の漸近線を求め， $C$ の概形を描け．

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数学・情報数理，物理学コース

物理との選択

易□　並□　難□

【３】　漸化式を用いて次のように定義された数列 ${a_{n}}$ を考える．

$a_{n + 1} = 2 a_{n} (1 - a_{n})$ $（ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

また，数列 ${b_{n}}$ を $b_{n} = a_{n} - \frac{1}{2}$ $（ n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots ）$ によって定める．以下の各問に答えよ．

(1)　初項 $a_{1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ のとき， $a_{2}$ および $a_{3}$ を求めよ．

(2)　数列 ${b_{n}}$ についての漸化式を求めよ．

(3)　 $0 < | b_{n} | < \frac{1}{2}$ ならば $0 < | b_{n + 1} | < | b_{n} |$ であることを示せ．ただし $n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots$ とする．

(4)　 $0 < | b_{1} | < \frac{1}{2}$ ならば， $| \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} | < r < 1$ を満たす正の実数 $r$ で， $n$ によらないものが存在することを示せ．ただし $n = 2 ，$ $3 ，$ $4 ，$ $\dots$ とする．

(5)　 $0 < a_{1} < 1$ ならば， $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \frac{1}{2}$ となることを示せ．

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