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2009-10267-0101
2009 東京工業大学 前期
配点60点
易□ 並□ 難□
【1】 点 P から放物線 y= 1 2⁢ x2 へ 2 本の接線が引けるとき, 2 つの接点を A , B とし,線分 PA , PB およびこの放物線で囲まれる図形の面積を S とする. PA ,PB が直交するときの S の最小値を求めよ.
2009-10267-0102
【2】 実数 a に対し,次の 1 次変換
f⁡(x ,y)= (a⁢x +(a- 2)y, (a-2 )⁢x+ a⁢y)
を考える.以下の 2 条件をみたす直線 L が存在するような a を求めよ.
2009-10267-0103
【3】 N を正の整数とする. 2⁢N 以下の正の整数 m , n からなる組 (m ,n) で,方程式 x 2-n ⁢x+m =0 が N 以上の実数解をもつようなものは何組あるか.
2009-10267-0104
配点70点
【4】 xyz 空間の原点と点 (1, 1,1 ) を通る直線を l とする.
(1) l 上の点 ( t3 , t3 , t3 ) を通り l と垂直な平面が, xy 平面と交わってできる直線の方程式を求めよ.
(2) 不等式 0≦ y≦x⁢ (1-x ) の表す xy 平面内の領域を D とする. l を軸として D を回転させて得られる回転体の体積を求めよ.