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2009-10270-0101
2009 お茶の水女子大学 前期共通
文教育,生活科学部
易□ 並□ 難□
【1】 正の整数 n に対し n の正の約数すべての和を σ ⁡(n) とおく.ただし, 1 と n も n の約数とする.以下の問いに答えよ.
(1) 素数 p , 正の整数 a に対し, n=pa とおく. σ⁡( n) を p と a で表せ.
(2) 相異なる素数 p ,q , 正の整数 a ,b に対し, n=p a ,m =qb とおく.このとき,
σ⁡( n⁢m) =σ⁡ (n)⁢ σ⁡(m )
が成立することを証明せよ.
(3) 正の整数 a について 2a -1 が素数とする.このとき, n=2 a-1 ⁢( 2a- 1) とおくと,
σ⁡(n )=2⁢ n
2009-10270-0102
文教育,生活科,理(化学科)学部
理(数,物理,生物,情報科学科)学部数学共通
理(数,物理,生物,情報科,化学科)学部数学は【1】
【2】 次の問いに答えよ.
(1) 関数 f⁡ (x) ,g⁡( x) を
とおく.曲線 y= f⁡(x ) と直線 y= g⁡(x ) が共有点を 4 つもつような定数 a の値の範囲を求めよ.
(2) 次の連立不等式の表す領域を図示し,その領域の面積を求めよ.
{ y≧| x2- 4⁢x+ 3| y≦x
2009-10270-0103
理(数,物理,生物,情報科,化学科)学部数学は【2】
【3】 次の問いに答えよ.
(1) 方程式 3⁢ x3- 6⁢x+ 2=0 は 2 つの相異なる実数解をもち,それらはいずれも 0 でないことを示せ.
(2) α ,β を(1)の方程式の相異なる解とする.自然数 n に対し A n=( α- n+ β-n )⁢ (α+ β)n とおく.
(ⅰ) A1 ,A2 は整数となることを示せ.
(ⅱ) すべての自然数 n について An は整数となることを示せ.
2009-10270-0104
理(数,物理,生物,情報科,化学科)学部数学共通
【3】 a を正の数とし,次のような条件をみたす四面体 OABC を考える.
(1) ∠BAC=θ とおく. cos⁡θ を a を用いて表せ.
(2) ▵ABC の面積を a を用いて表せ.
(3) 球 S1 が四面体 OABC のすべての面と接しているとする.この球 S1 の半径を a を用いて表せ.
(4) 四面体 OABC のすべての頂点が球 S2 の表面上にあるとする.この球 S2 の半径を a を用いて表せ.